Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Записать квадратичную форму
(
)
3121
2
3
2
2
2
1
2832, xxxxxxxxxA +++−= в
векторной форме.
Составим матрицу A квадратичной формы
, тогда
−=
101
034
142
A
()( )
⋅
−⋅=
3
2
1
321
101
034
142
,
x
x
x
xxxxxA .
П р и м е р 25.
Дана матрица
−
−
=
51
12
A квадратичной формы. Записать эту квадра-
тичную форму
()
2
221
2
1
522, xxxxxxA +−= .
5.2 Классификация квадратичных форм
Определение 23. Квадратичная форма
(
)
xхA , называется:
1) положительно (отрицательно) определённой, если
()
n
xxxх ...,,,
21
=∀
() ()()
0,,0, <> ххAххA .
2) знакопеременной, если существуют
(
)
n
xxxх ...,,,
21
=
и
()
n
yyyу ...,,,
21
=
такие, что
()
,0, >ххA а
(
)
0,
<
ууA .
3) квазизнакоопределённой, если существует
(
)
n
xxxх ...,,,
21
=
()
0, ≥ххA
или
()
0, ≤ххA , но существует
)
0...,,,
21
≠
=
n
yyyу такой, что
()
0, =ууA .
Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы.
Пусть квадратичная форма
(
)
xхA , в базисе
(
)
n
eee ...,,,
21
определяется
матрицей
()
(
)
njiaA
ij
,1, == и пусть
42
       Записать квадратичную форму A( x, x ) = 2 x12 − 3 x 22 + x 32 + 8 x1 x 2 + 2 x1 x 3 в
векторной форме.
                                                       2 4 1
                                                                      
       Составим матрицу A квадратичной формы A =  4 − 3 0  , тогда
                                                      1 0 1
                                                                      

                                       2 4 1   x1 
                                                 
         A( x, x ) = ( x1 x 2 x 3 ) ⋅  4 − 3 0  ⋅  x 2  .
                                       1 0 1  x 
                                                 3

        П р и м е р 25.
                         2 − 1
      Дана матрица A =        квадратичной формы. Записать эту квадра-
                        −1 5 
тичную форму

         A( x , x ) = 2 x12 − 2 x1 x 2 + 5 x 22 .


5.2 Классификация квадратичных форм


        Определение 23. Квадратичная форма A( х , x ) называется:
        1) положительно (отрицательно) определённой, если ∀ х = ( x1 , x2 , ..., xn )
          A( х , х ) > 0, ( A( х , х ) < 0 ) .

        2) знакопеременной, если существуют х = ( x1, x2 , ..., xn ) и у = ( y1, y2 , ..., yn )
            такие, что A( х , х ) > 0, а A( у , у ) < 0 .

        3) квазизнакоопределённой, если существует х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) A( х , х ) ≥ 0
           или A( х , х ) ≤ 0 , но существует у = ( y1 , y 2 , ..., y n ) ≠ 0 такой, что
           A( у , у ) = 0 .

      Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы.
       Пусть квадратичная форма A( х , x ) в базисе (e1 , e 2 , ..., e n ) определяется
матрицей A = a ij( ) (i, j = 1, n) и пусть



42

Страницы