Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 43 стр.

                                                                                      a11       a12    .. a1n
                                          a11                a12       a13
                   a11     a12                                                        a         a 22   .. a 2 n
∆1 = a11 , ∆ 2 =                  , ∆ 3 = a 21               a 22      a 23 , …, ∆ n = 21
                   a 21    a 22                                                        ..        ..    .. ..
                                          a 31               a 32      a 33
                                                                                      a n1      an2    .. a nn

– угловые миноры и определитель матрицы.

          Теорема (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма
A( х , x ) была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все
её угловые миноры были положительны, т.е. ∆ 1 > 0, ∆ 2 > 0, ..., ∆ n > 0 .

       Для того чтобы квадратичная форма A( х , x ) была отрицательно опреде-
лённой необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались,
причём ∆ 1 < 0 (без доказательства).
5.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду

                                                             n
        Квадратичная форма A( х , х ) =                     ∑ a ij x i x j      имеет канонический вид, если
                                                           i , j =1

               (            )
a ij = 0 ∀i ≠ j i, j = 1, n , т.е. каноническая квадратичная форма имеет вид:

                                                                                 n
                          a11 x12   +   a 22 x 22   + ... +       a nn x n2   = ∑ a ii x i2 .
                                                                                i =1


Матрица такой квадратичной формы является диагональной

                                   a11              0         0 .. 0            0
                                                                            
                                   0               a 22       0 .. 0            0
                                A=                                          .
                                     ..              ..        .. .. ..           ..
                                                                           
                                    0               0         .. .. 0 a nn 

        Коэффициенты a11 , a 22 , a nn называются каноническими коэффициен-
тами.
       Очевидно, что матрица квадратичной формы зависит от выбора базиса.
       Введём в пространстве скалярное произведение и будем считать, что
выбранный базис e1 , e2 , ..., en ортонормирован. Рассмотрим линейный оператор
L, имеющий своей матрицей матрицу A квадратичной формы A( х , x ) . Скаляр-
ное произведение в случае ортонормированного базиса равно сумме попарных
произведений их координат, т.е.

                                                                                                                  43