Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 44 стр.

                                              n  n         
                               (L х, х ) = ∑  ∑ a ik x k  x i = A(х , х ) .
                                           i =1  k =1      

       Теорема. Для любой квадратичной формы A( х , x ) в евклидовом про-
странстве En существует ортонормированный базис, относительно которого
матрица квадратичной формы A( х , x ) принимает диагональный вид. (Без дока-
зательства).

           П р и м е р 26.
           Привести          к       каноническому       виду     квадратичную        форму
A( х , х ) = 32 x12 + 52 x1 x 2 − 7 x 22 . Описать преобразование базиса, обеспечивающее
решение задачи.
                                                                    32 26 
           Матрица А квадратичной формы имеет вид A =                      . Найдём соб-
                                                                    26 − 7 
ственные значения и построим базис из собственных векторов.
           Характеристическое уравнение будет:

         32 − τ        26
                            = 0;
           26        − 7 −τ

        τ 2 − 25τ − 900 = 0;             τ 1 = 45, τ 2 = −20.

        В новом базисе матрица квадратичной формы примет вид

               45   0 
         B =           ,
               0  − 20 

        а сама квадратичная форма

         B ( у , у ) = y12 − 20 y 22 .

       Для описания преобразования координат найдём матрицу Т перехода от
старого базиса к новому. Для этого построим собственные векторы.
       Для τ = 45 получаем систему уравнений:




44