Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

.
0
0
5226
2013
;05226
,02613
2
1
21
21
=
−
−
=−
=+−
x
x
xx
xx
Базисный минор отчёркнут. Свободная переменная х
2
. Отсюда собст-
венный вектор, соответствующий собственному значению 45
=
τ
будет
e
f
=
1
2
1
.
Для 20
2
−=
τ
получим систему
=
0
0
1326
2652
2
1
x
x
и собственный вектор
e
f
−
=
2
1
2
.
Векторы
1
f и
2
f ортогональны
(
)
(
)
0,
21
=ff , но не нормированы
(
)
(
)
0514,
21
≠=+=ff . Нормируем их и получим новый ортонормированный
базис:
=
51
52
1
f и
−
=
52
51
2
f .
Матрица Т перехода от старого базиса к новому будет
−
=
5251
5152
T .
Преобразование координат имеет вид:
212211
5
2
5
1
,
5
1
5
2
xxyxxy +−=+=
.
45
         − 13 x1 + 26 x 2 = 0,
         
         26 x1 − 52 x 2 = 0;


          − 13        20  x1   0 
                            =  .
           26        − 52  x 2   0 

      Базисный минор отчёркнут. Свободная переменная х2. Отсюда собст-
                                                                        2
венный вектор, соответствующий собственному значению τ = 45 будет f1 =  .
                                                                        1e
         Для τ 2 = −20 получим систему

          52 26  x1   0 
                  =  
           26 13   x 2   0 

                                      − 1
         и собственный вектор f 2 =   .
                                      2 e
         Векторы f1 и f 2 ортогональны                         (( f1 , f 2 ) = 0),   но не нормированы
(( f1 , f 2 ) = 4 + 1 = 5 ≠ 0). Нормируем их и получим новый ортонормированный
базис:
               2      5                  −1 5
         f1 =            и       f 2 =      .
               1      5                  2 5 
                                                 

     Матрица Т перехода от старого базиса к новому будет

              2 5 −1 5
         T =         .
                       
              1 5 2 5 

         Преобразование координат имеет вид:

                  2          1                      1          2
         y1 =         x1 +       x2 ,      y2 = −       x1 +        x2 .
                  5          5                      5           5




                                                                                                    45

Страницы