Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 47 стр.

           или       a11 x1′2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′2 + C1′ = 0 .

      Приведем квадратичную форму A( х ′, х ′ ) = a11 x1′ 2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′ 2 к
каноническому виду. Для этого в качестве базиса выберем единичные собст-
                                                a        a12 
венные векторы оператора, имеющего матрицу A =  11            :
                                                 a12 a 22 
            a11 − τ         a12
                                    = 0,
              a12        a 22 − τ


                                       (
           τ 2 − (a11 + a 22 )τ + a11 a 22 − a12
                                              2
                                                 = 0,        )
                                   2         a11       a12
           τ 1 ⋅ τ 2 = a11 a 22 − a12 =                          .
                                             a12       a 22

           В новом базисе квадратичная форма будет иметь вид

                                                   τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 ,

           а уравнение кривой примет вид:

                                             τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 + C1′ = 0 ,                          (27)

         где τ 1 и τ 2 – собственные значения оператора с матрицей А.
                                                        a    a
        Отсюда      видно,     что    если   τ 1 ⋅ τ 2 = 11 12 < 0 , то                               кривая
                                                        a 22 a 22
τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 + C1′ = 0    является         гиперболой               или   парой   пересекающихся
прямых, если C1′ = 0 .

      Если τ 1 ⋅ τ 2 > 0, τ 1 > 0, τ 2 > 0 (τ 1 < 0, τ 2 < 0 ) , то эта кривая является эл-
липсом при C1′ < 0 (C1′ > 0 ) , вырождается в точку, если C1′ = 0 .

    Если τ 1 > 0 , τ 2 > 0 , C1′ > 0                 (τ 1 < 0, τ 2 < 0,       C ′ 1< 0 ), то точек, удовлетво-
ряющих этому уравнению нет.

        Если C1′ ≠ 0 , то уравнение (27) можно переписать в виде




                                                                                                           47