Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 48 стр.

          x1′′2   x 2′′2
                +        = 1.
       C1′   C1′ 
       −   − 
        τ1   τ 2 

       Отсюда видно, что в зависимости от знака τ 1 и τ 2 кривая является либо
эллипсом, либо гиперболой.
       Если кривая нецентральная, то

                                  a11     a12                               2
                 τ1 ⋅τ 2 =                     = 0 ⇒ a11 a 22 = a12 a 21 = a12 ,
                                  a 21    a 22

        тогда

                a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x 22 = ±      (   a11 ⋅ x1 ±                 )
                                                                                          2
                                                                                 a 22 ⋅ x 2 .

       Выбрав ортонормированный базис f1 и f 2 из собственных векторов и
считая τ 1 = 0 , т.к. (τ 1 ⋅ τ 2 ) = 0 , получим

                                  τ 2 x 2′2 + 2b1′ x1′ + 2b2′ x 2′ + C ′ = 0 .

        Преобразуем его к виду:

                                             b2′                 b22
                                 τ 2  x 2′ +  + 2b1′ x1′ + C1 − = 0 .
                                             τ2                  τ2

                                    b2′        C1 b22
        Полагая, x 2′′ = x 2′ + , x1′′ = x1′ +    −       , b1′ ≠ 0 , получим уравнение
                               τ2              b1′ b1′τ 2

                                             τ 2 x 2′′2 = −2b1′ x1′

        или
                                                x 2′′2 = 2 px1′′ ,                              (28)

                      2b1′
        где 2 p = −          .
                      τ2
        Уравнение (28) – уравнение параболы, осью симметрии которой являет-
ся ось x1′′ , а вершина расположена в начале новой системы координат ( x1′′, x 2′′ ) .



48