Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Если 0
b , то получаем уравнение , где
1
=
′
Cx
′′
=
′′
2
2
′
−
′
=
′′
C
b
C
2
2
2
2
1
ττ
.
Если 0, то эта пара параллельных прямых, симметричных относи-
тельно оси
, если C , то эта сама ось
>
′′
C
1
′′
x 0=
′′
1
x
′
′
, если 0
<
′
′
C , то это пустое мно-
жество.
П р и м е р 27.
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
и определить преобразования пе-
ременных, с помощью которых достигается это приведение.
02246464251425
21
2
221
2
1
=−+−+− xxxxxx
Приведём к каноническому виду квадратичную форму с матрицей
−
−
=
257
725
A .
Характеристическое уравнение
()
049250
257
725
2
=−−⇒=
−−
−−
τ
τ
τ
,
()()
32,18,0725,0725
21
=
=
=
+
−=−−
τ
τ
τ
τ
.
Для 18
1
=
τ
строим собственный вектор
=
1
1
1
f ,
для 32
2
=
τ
– собственный вектор
−
=
1
1
2
f .
Нормируем их, получим ортонормированный базис
=
2
1
2
1
1
f и
−
=
2
1
2
1
2
f .
Матрица преобразования базиса будет
−
=
2
1
2
1
2
1
2
1
T .
49
                                                                        1  b2′ 2      
                                                     2
       Если b1′ = 0 , то получаем уравнение x 2′′ = C ′′ , где C ′′=               − C ′ .
                                                                       τ 2  τ 2       
                                                                                        
                  ′′
       Если C > 0 , то эта пара параллельных прямых, симметричных относи-
тельно оси x1′′ , если C ′′= 0 , то эта сама ось x1′′ , если C ′′< 0 , то это пустое мно-
жество.

        П р и м е р 27.
        Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
25 x1 − 14 x1 x 2 + 25 x 22 − 64 x1 + 64 x 2 − 224 = 0 и определить преобразования пе-
    2

ременных, с помощью которых достигается это приведение.
        Приведём к каноническому виду квадратичную форму с матрицей

               25 − 7 
         A =          .
               − 7 25 

        Характеристическое уравнение

         25 − τ         −7
                              =0 ⇒   (25 − τ )2 − 49 = 0 ,
          −7           25 − τ

        (25 − τ − 7 ) = 0, (25 − τ + 7 ) = 0, τ 1 = 18, τ 2 = 32 .

                                                         1
        Для τ 1 = 18 строим собственный вектор f1 =   ,
                                                         1
                                                 − 1
        для τ 2 = 32 – собственный вектор f 2 =   .
                                                1

        Нормируем их, получим ортонормированный базис

                 1        1 
                         −   
         f1 =     2 и f =  2 .
                  1     2
                           1 
                             
                  2       2 

        Матрица преобразования базиса будет

                 1          1 
                       −       
        T =       2          2 .
                 1         1 
                               
                  2         2 
                                                                                        49

Страницы