Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Квадратичная форма принимает вид
()
1
2
2
1
3218, yyyyB += .
Преобразование координат
у
Т
х
=
идёт по формулам:
.
2
1
2
1
,
2
1
2
1
212211
yyxyyx +=−=
Подставим эти значения в линейную часть уравнения кривой, получим:
0224
2
128
3218
2
2
2
2
1
=−−+ yyy или
()
⇒=−+ 28823218
2
2
2
1
yy
(
)
1
9
2
16
2
2
2
1
=
−
+
yy
.
В координатах у
1
, у
2
это есть уравнение эллипса с центром в точке
(
)
2,0, а полуоси равны 4 и 3.
Можно выполнить параллельный перенос по формулам
2,
2211
−== yzyz .
Каноническое уравнение эллипса будет иметь вид:
1
916
2
2
2
1
=+
zz
.
5.5 Метод Лагранжа
Покажем, что существует невырожденное преобразование координат,
которое приводит квадратичную форму к каноническому виду.
Теорема. Любая квадратичная форма
(
)
xхA ,
заданная в n-мерном ли-
нейном пространстве U, с помощью невырожденного линейного преобразова-
ния координат может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство. Будем считать, что
(
)
0,
≡
/
ххA и в данном базисе
представлена в виде
n
eeee ...,,,:
21
50
     Квадратичная форма принимает вид

         B ( y , y ) = 18 y12 + 32 y 12 .

         Преобразование координат х = Т у идёт по формулам:

                 1       1                         1       1
         x1 =       y1 −    y2 ,            x2 =      y1 +    y2 .
                  2       2                         2       2

         Подставим эти значения в линейную часть уравнения кривой, получим:

                              128
         18 y12 + 32 y 22 −       y 2 − 224 = 0 или
                                2


                      (            )
         18 y12 + 32 y 2 − 2 = 288 ⇒
                                    2                y12  (y − 2
                                                         + 2
                                                                     )2 = 1.
                                                     16       9

      В координатах у1, у2 это есть уравнение эллипса с центром в точке
(    )
0, 2 , а полуоси равны 4 и 3.
      Можно выполнить параллельный перенос по формулам

         z1 = y1 , z 2 = y 2 − 2 .

         Каноническое уравнение эллипса будет иметь вид:

      z12 z 22
         +     = 1.
      16 9
5.5 Метод Лагранжа


       Покажем, что существует невырожденное преобразование координат,
которое приводит квадратичную форму к каноническому виду.

       Теорема. Любая квадратичная форма A( х , x ) заданная в n-мерном ли-
нейном пространстве U, с помощью невырожденного линейного преобразова-
ния координат может быть приведена к каноническому виду.

         Доказательство. Будем считать, что A( х , х ) ≡/ 0 и в данном базисе
e : e1 , e 2 , ..., e n представлена в виде


50

Страницы