Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Матрица этого преобразования
=
1..00
..........
0..01
0..001
11
1
11
12
a
a
a
a
T
n
является невырожденной, следовательно, линейное преобразование (30)
является невырожденным и с его помощью квадратичная форма (29) примет
вид:
. (31)
∑
=
+
n
ji
jiij
aa
2,
2
111
*
ξξξ
Итак, если
, то квадратичную форму (29) можно привести к
виду (31).
0
11
≠a
Если , но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-
нибудь другой переменной, то, перенумеровав базисные векторы, можно полу-
чить
a .
0
11
=a
0
11
≠
Если все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, но, на-
пример 0 (т.к. квадратичная форма тождественно не равна нулю, то есть
коэффициент отличен от нуля).
12
≠a
Рассмотрим преобразования координат:
=
=
+=
−=
.
...
,
,
,
1
3
1
3
21
1
2
21
1
1
nn
xx
xx
xxx
xxx
При этом невырожденном преобразовании коэффициент при
(
)
2
1
1
x
будет равен
0
2
12
≠−
a
.
Если квадратичная форма тождественно равна нулю, то матрица её в
любом базисе нулевая, но по определению она каноническая.
52
     Матрица этого преобразования

          1      0 0 .. 0 
          a12                
                 1 0 .. 0 
           a
     T =  11                 
          ..     .. .. .. .. 
          a1n                
         a       0 0 .. 1 
          11                 

     является невырожденной, следовательно, линейное преобразование (30)
является невырожденным и с его помощью квадратичная форма (29) примет
вид:

                                                n
                                  a11ξ 12 +    ∑ a *ij ξ i ξ j .      (31)
                                              i, j =2


       Итак, если a11 ≠ 0 , то квадратичную форму (29) можно привести к
виду (31).
       Если a11 = 0 , но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-
нибудь другой переменной, то, перенумеровав базисные векторы, можно полу-
чить a11 ≠ 0 .
       Если все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, но, на-
пример a12 ≠ 0 (т.к. квадратичная форма тождественно не равна нулю, то есть
коэффициент отличен от нуля).
       Рассмотрим преобразования координат:

        x11 = x1 − x 2 ,
        1
        x 2 = x1 + x 2 ,
        1
        x3 = x3 ,
       ...
       
        x 1n = x n .
       
       При этом невырожденном преобразовании коэффициент при x11      ( )2
              a
будет равен − 12 ≠ 0 .
               2
       Если квадратичная форма тождественно равна нулю, то матрица её в
любом базисе нулевая, но по определению она каноническая.




52

Страницы