Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 53 стр.

        Вывод: Любую квадратичную форму с помощью невырожденного пре-
образования можно привести к виду, в котором a11 ≠ 0 . Тогда её можно при-
вести к виду (31):
                                                        n
                             A( х , х ) = a11ξ 12 +    ∑ a *ij ξ i ξ j .
                                                      i, j =2


     Если квадратичная форма

                                           ∞
                                          ∑ a *ij ξ i ξ j                       (32)
                                         i, j =2


тождественно равна нулю, то задача приведения квадратичной формы A( х , x ) к
каноническому виду решена и

                                       A( х , х ) = a11 ξ 12 .

                 n
     Если же    ∑ a ij ξ i ξ j ≡/ 0 , то уже известным способом с помощью невыро-
               i, j =2
жденного преобразования ξ 2 , ξ 3 , ..., ξ n приведём квадратичную форму (32) к
виду (31) и т.д.
           Очевидно, за конечное число шагов мы приведём квадратичную форму
L( x1 , x 2 , ..., x n ) к каноническому виду (30).
           Замечания:
           1 Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, назы-
вается каноническим базисом.
           2 Если квадратичная форма приведена к каноническому виду, то не все
канонические обязательно отличны от нуля. Перенумеровывая их, получим:

                         A( х , х ) = b1η12 + b2η 22 + ... + bnη kk , k ≤ n .   (33)

       По определению, ранг квадратичной формы равен рангу её матрицы,
который не меняется при переходе к другому базису и т.к. ранг квадратичной
формы (29) равен k, то ранг квадратичной формы (29) также равен k.
       Таким образом, число отличное от нуля канонических коэффициентов
равно рангу квадратичной формы.




                                                                                 53