Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

5.4 Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
02
2
1
2
,
=++
∑∑
=i
ii
ki
kiik
Cxbxxa
.
Для того, чтобы начало координат было центром симметрии кривой, не-
обходимо и достаточно, чтобы уравнение её было инвариантно относительно
замены х
1
на – х
1
и х
2
на – х
2
, т.е. чтобы коэффициенты второго слагаемого b
1
и
b
2
были равны нулю.
Рассмотрим общее уравнение кривой
0222
2211
2
2222112
2
111
=+++++ Cxbxbxaxxaxa .
Выполним преобразование координат по формулам
222111
, axxaxx
+
′
=
+
′
=
и подберём а
1
, а
2
так, чтобы коэффициенты при первых степенях х
1
, х
2
обрати-
лись в ноль, т.е.
() ()( )
(
)
(
)( )
.0222
222111
2
2222221112
2
1111
=++
′
++
′
++
′
++
′
+
′
++
′
Caxbaxbaxaaxaxaaxa
Очевидно
=++
′
=++
0222
,0222
22222112
1212111
baaxaa
baaaa
или
−=+
−=+
.
,
2222112
1212111
baaaa
baaaa
Если 0
2221
1211
≠=∆
aa
aa
, то система имеет единственное решение а
1
и а
2
.
В этом случае кривая называется центральной.
Если 0, то кривая называется нецентральной. =∆
Выбрав начало координат в центре симметрии
(
)
21
, aa , т.е. сделав за-
мену
и
111
axx +
′
=
222
axx +
′
=
, приведём уравнение кривой к виду:
(
)
02222
2211
2
2222112
2
111
2
2222112
2
111
=++++++
′
+
′′
+
′
Cababaaaaaaaxaxxaxa
46
5.4 Приведение уравнений кривых второго порядка
           к каноническому виду


        Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
                                          2                     2
                                       ∑ a ik x i x k + 2∑ bi x i + C = 0 .
                                         i ,k                  i =1


       Для того, чтобы начало координат было центром симметрии кривой, не-
обходимо и достаточно, чтобы уравнение её было инвариантно относительно
замены х1 на – х1 и х2 на – х2, т.е. чтобы коэффициенты второго слагаемого b1 и
b2 были равны нулю.
       Рассмотрим общее уравнение кривой

                       a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x 22 + 2b1 x1 + 2b2 x 2 + C = 0 .

           Выполним преобразование координат по формулам

                                                x1 = x1′ + a1 , x 2 = x 2′ + a 2

и подберём а1, а2 так, чтобы коэффициенты при первых степенях х1, х2 обрати-
лись в ноль, т.е.

a11 ( x1′ + a1 )2 + 2a12 ( x1′ + a1 )( x 2′ + a 2 ) + a 22 ( x 2′ + a 2 )2 + 2b1 ( x1′ + a1 ) + 2b2 ( x 2′ + a 2 ) + C = 0.
            Очевидно

           2a11 a1 + 2a12 a 2 + 2b1 = 0,                               a11 a1 + a12 a 2 = −b1 ,
                                                              или      
           2a12 a1 x 2′ + 2a 22 a 2 + 2b2 = 0                          a12 a1 + a 22 a 2 = −b2 .

                          a11      a12
           Если ∆ =        ≠ 0 , то система имеет единственное решение а1 и а2.
                 a 21 a 22
В этом случае кривая называется центральной.

           Если ∆ = 0 , то кривая называется нецентральной.

       Выбрав начало координат в центре симметрии (a1 , a 2 ), т.е. сделав за-
мену x1 = x1′ + a1 и x 2 = x 2′ + a 2 , приведём уравнение кривой к виду:

                                                       (
           a11 x1′ 2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′ 2 + a11 a12 + 2a12 a1 a 2 + a 22 a 22 + 2b1 a1 + 2b2 a 2 + C = 0    )
46

Страницы