Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 40 стр.

                                           0, если i ≠ j ,
                                    q ij = 
                                           1, если i = j

и матрица Грама в этом случае единичная и скалярное произведение в орто-
нормированном базисе имеет вид:

                                n
                    ( х , у ) = ∑ xi y i   = x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .
                               i =1


                              5 Квадратичные формы


5.1 Основные определения


       Пусть х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) – вектор n-мерного линейного пространства.

       Определение 19. Функция n переменных вида

                     A( x, x ) = a11 x12 + a12 x1 x 2 + ... + a1n x1 x n +

                      + a 21 x 2 x1 + a 22 x 22 + a 23 x 2 x 3 + ... + a nn x n2 ,   (24)

               (         )
       где a ij i, j = 1, n – числовые коэффициенты, называется квадратичной
       формой.

       Правую часть равенства (24) можно записать в виде

                                       n   n                  n
                        A( x, x ) = ∑ ∑ a ij x i x j =       ∑ a ij x i x j .        (25)
                                      i =1 j =1             i , j =1


       Замечание – В сумме (1) слагаемые a ij x i x j и a ji x j x i (i ≠ j ) подобны,
поэтому можно всегда добиться, чтобы a ij = a ji .

       Определение 20. Матрица

                                      a11        a12    ... a1n 
                                                                  
                                     a           a 22   ... a 2 n 
                        A = (aij ) =  21                                            (26)
                                         ...      ...    ... ... 
                                                                 
                                       a n1      an2    ... a nn 

40