Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 34 стр.

4.5 Расстояние между векторами


        Определим расстояние между векторами х и у как d ( х , у ) = х − у .

        П р и м е р 22.
        Найти расстояние между векторами х = (− 1; 2 ), у = (3; 1) в пространстве
E , если ( х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 .
 n

        Найдём х − у = (− 4; 1) . Тогда

        d (х , у ) = х − у =    (х − у,        х − у) =


      = (− 4 )2 + 2(− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 1(− 4 ) + 8 ⋅ 12 = 8 = 2 2 .
4.6 Ортогональность векторов


      Определение 15. Ненулевые векторы х и у евклидова пространства,
называются ортогональными (перпендикулярными), если ( х , у ) = 0 .

      Определение 16. Вектор х евклидова пространства, называется норми-
рованным, если х = 1 .

        Определение 17. Система векторов e1 , e 2 , ..., e n евклидова простран-
ства En, называются ортогональной, если (ei , e j ) = 0 ∀i ≠ j и i = 1, n, j = 1, n , т.е.
все векторы попарно ортогональны.

        Определение 18. Система векторов e1 , e 2 , ..., e n евклидова простран-
ства En, называются ортонормированной, если

                                               i ≠ j,
                        (ei , e j ) = 10,,   если i = j,
                                                             ∀i, j = 1, n.
                                       

        Теорема. Всякая ортогональная система, не содержащая нулевых век-
торов, линейно независима.

        Доказательство. Пусть e1 , e 2 , ..., e k – ортогональная система, не со-
держащая нулевых векторов, т.е. ei ≠ 0, ∀i = 1, k .
        Предположим, что система векторов e1 , e 2 , ..., e k линейно зависима,
это, значит, существует ненулевой набор чисел λ1 , λ2 , ..., λk такой, что линей-

34