Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Что и требовалось доказать.
4.3 Длина вектора
Определение 14. Длиной вектора
х
или нормой вектора
х
в простран-
стве Е
n
называется число
(
)
xxx ,= .
Из свойств скалярного произведения вытекает, что введённое таким об-
разом понятие длины является обобщением понятия длины вектора в геометри-
ческом векторном пространстве, т.е. обладает естественными свойствами дли-
ны:
1)
0≥х , причём
00
=
⇔
= хх
;
2)
()() ()
хххххххх ⋅====
λλλλλλ
,,,
2
;
3)
()()()() ()
=++≤++=++=+
22
,2,,2,, уухxууухххухухух
()
yxyx +=+
2
= , т.е. yxyx
+
≤
+
.
П р и м е р 20.
Пусть евклидово пространство построено со скалярным произведением
из примера 1 параграфа 1.2, т.е.
()
22122111
822, yxyxyxyxух
+
+
+
= .
В базисе
21
, ee задан вектор
21
2 eeх
−
=
. Найти длину этого вектора
() () ()
21824484,
2
2
221
2
1
=−⋅+−⋅+=++== xxxxххх
.
32
       Что и требовалось доказать.
4.3 Длина вектора


       Определение 14. Длиной вектора х или нормой вектора х в простран-
стве Е называется число x = ( x , x ) .
     n



       Из свойств скалярного произведения вытекает, что введённое таким об-
разом понятие длины является обобщением понятия длины вектора в геометри-
ческом векторном пространстве, т.е. обладает естественными свойствами дли-
ны:
       1) х ≥ 0 , причём х = 0 ⇔ х = 0 ;


         2) λ х =     (λ х , λ х ) = λ2 (х , х ) = λ (х , х ) = λ      ⋅х;


         3) х + у =      (х + у , х + у ) = (х , х ) + 2(х , у ) + ( у , у ) ≤   x + 2 (х , у ) + у =
                                                                                  2               2


             =   (x   + y ) = x + y , т.е.
                              2
                                                       x+y ≤ x + y.

       П р и м е р 20.
       Пусть евклидово пространство построено со скалярным произведением
из примера 1 параграфа 1.2, т.е.


         (х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 .

         В базисе e1 , e2 задан вектор х = 2e1 − e2 . Найти длину этого вектора

         х =     (х , х ) =   x12 + 4 x1 x 2 + 8 x 22 = 4 + 4 ⋅ (− 2 ) + 8 ⋅ (− 1)2 = 2 .




32

Страницы