Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 30 стр.

        П р и м е р 17.
        Пусть в R2 выбран базис e1 , e 2 . Для произвольных векторов
х = x1e1 + x2 e2 и у = y1e1 + y 2 e2 скалярное произведение введём по формуле:

                              (х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 .                         (21)

       Убедимся, что это правило (закон) может служить скалярным произве-
дением двух векторов. Для этого нужно проверить выполнение 1-4 свойства
скалярного произведения:

      1.   ( у , х ) = y1 x1 + 2 y1 x 2 + y 2 x1 + 8 y 2 x 2 = (х , у ) .

      2. (λ х , у ) = λ х1 y1 + 2λ x1 y 2 + 2λ x 2 y1 + 8λ x 2 y 2 = λ ( х , у ) .


      3.   (х + у , z ) = (x1 + y1 )z1 + 2(x1 + y1 )z 2 + 2(x 2 + y 2 )z1 + 8(x 2 + y 2 )z 2 =
           = ( x1 z1 + 2 x1 z 2 + 2 x 2 z1 + 8 x 2 z 2 ) + ( y1 z1 + 2 y1 z 2 + 2 y 2 z1 + 8 y 2 z 2 ) =


           = ( x , z ) + ( y , z ).


      4.   (x , x ) = x1 x1 + 2 x1 x 2 + 2 x 2 x1 + 8 x 2 x 2 = x12 + 4 x1 x 2 + 8 x 22 =

           = ( x1 + 2 x 2 )2 + 4 x 22 ≥ 0 ∀x ∈ R n

           (x1 + 2 x 2 )2 + 4 x 22 = 0     ⇔      x1 = 0, x 2 = 0 ⇒           x = 0.

       Вывод: С помощью формулы (21) можно построить евклидово про-
странство.

        П р и м е р 18.
        Пусть в R2 выбран базис e1 , e2 . Для произвольных векторов
x = x1e1 + x2 e2 и y = y1e1 + y 2 e2 введём правило:

                           (х , у ) = x1 y1 + 4 x1 y 2 + 4 x 2 y1 + x 2 y 2 .                              (22)

      Может ли формула (22) служить скалярным произведением векторов?


30