Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы. Пономарева Н.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим результаты действия оператора Р на базисные векторы:
()
()
()
,0000
,010
,001
kjikP
kjijjP
kjiiiP
⋅+⋅+⋅==
⋅+⋅+⋅==
⋅+⋅+⋅==
.A
p
=
000
010
001
Если взять произвольный вектор
и подействовать на него опе-
ратором Р (другими словами спроектировать его на плоскость хоу), то получим
вектор
=
z
y
x
X
.
y
x
z
y
x
XAp
p
=
⋅
=⋅=
0000
010
001
П р и м е р 12.
Найти матрицу линейного оператора
22
:
R
R
L
→
() ( )
2121
32; xxxxxf +−= в том же базисе, в котором задан вектор
()
21
, xx=x .
Пусть вектор
x
задан в базисе
21
,: eee . Координаты базисных векторов
будут
()
(
1;0,0;1
21
== ee
)
. Подействуем на базисные векторы
21
, ee оператором L:
()( ) ()(
3;1,2;1
21
−== efef
)
. Тогда
−
=
32
11
e
L
A .
П р и м е р 13.
Найти матрицу линейного оператора L поворота вокруг начала коорди-
нат на угол
ϕ
против часовой стрелки в пространстве R
2
в базисе j,.i
Найдем
()
()
Τ
=
ϕϕ
sin,cosif ,
()
()
(
)()
()
Τ
Τ
−=−−−=
ϕϕϕϕ
cos,sin90sin;90cos
00
jf .
Итак,
ϕϕ
ϕ
−
ϕ
=
cossin
sincos
A
f
.
11
         Рассмотрим результаты действия оператора Р на базисные векторы:

         P(i ) = i = 1 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ,            1 0 0
                                                               
       P( j ) = j = 0 ⋅ i + 1 ⋅ j + 0 ⋅ k ,       A p =  0 1 0 .
       P (k ) = 0 = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ,             0 0 0
                                                               
                                                 x
                                                 
       Если взять произвольный вектор X =  y  и подействовать на него опе-
                                                z
                                                 
ратором Р (другими словами спроектировать его на плоскость хоу), то получим
                       1 0 0  x   x 
                                       
вектор p = A p ⋅ X =  0 1 0  ⋅  y  =  y .
                       0 0 0  z   0 
                                       

            П р и м е р 12.
            Найти             матрицу          линейного           оператора     L : R2 → R2
 f ( x ) = ( x1 − x 2 ; 2 x1 + 3 x 2 ) в том же базисе, в котором задан вектор x = ( x1 , x 2 ) .
            Пусть вектор x задан в базисе e : e1 , e 2 . Координаты базисных векторов
будут e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) . Подействуем на базисные векторы e1, e2 оператором L:
                                                        1 − 1
 f (e1 ) = (1; 2 ), f (e 2 ) = (− 1; 3) . Тогда ALe =        .
                                                       2 3 

        П р и м е р 13.
        Найти матрицу линейного оператора L поворота вокруг начала коорди-
нат на угол ϕ против часовой стрелки в пространстве R2 в базисе i , j .

         Найдем f (i ) = (cos ϕ , sin ϕ )Τ ,


                            (                    (
                    f ( j ) = − cos(90 − ϕ ); sin 90 0 − ϕ 0   ))
                                                                Τ
                                                                    = (− sin ϕ , cos ϕ )Τ .

         Итак,

                 cos ϕ − sin ϕ 
         A f =                 .
                 sin ϕ  cos  ϕ  




                                                                                              11

Страницы