Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

d
1
(x) g(x) r(x)
d
1
(x) f(x) g(x)
g(x) r(x)
f(x) g(x)
(f(x), g(x)) = (g(x), r(x))
f(x) g(x)
f(x) = g(x)q
1
(x) + r
1
(x),
g(x) = r
1
(x)q
2
(x) + r
2
(x),
r
1
(x) = r
2
(x)q
3
(x) + r
3
(x),
r
2
(x) = r
3
(x)q
4
(x) + r
4
(x),
. . . . . .
r
k
(x) = r
k+1
(x)q
k+2
(x) + r
k+2
(x),
r
k+1
(x) = r
k+2
(x)q
k+3
(x) + 0.
(f(x), g(x)) = r
k+2
(x)
f(x) g(x)
d(x)
f(x) g(x)
u(x) v(x)
f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x).
f(x) g(x)
u(x)
g(x) v(x) f(x)
b) åñëè d1 (x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ g(x) è r(x),
òî d1 (x)  îáùèé äåëèòåëü ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x);
c) ìíîæåñòâî îáùèõ äåëèòåëåé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ g(x) è r(x)
ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì îáùèõ äåëèòåëåé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ
f (x) è g(x);
d) ÍÎÄ (f (x), g(x)) = ÍÎÄ (g(x), r(x)).
Àëãîðèòì Åâêëèäà. Ïóñòü f (x) è g(x)  äâà íåíóëåâûõ ìíî-
ãî÷ëåíà. Ðàçäåëèì ñ îñòàòêîì ïåðâûé ìíîãî÷ëåí íà âòîðîé, çà-
òåì âòîðîé ìíîãî÷ëåí íà ïåðâûé îñòàòîê, ïåðâûé îñòàòîê íà
âòîðîé îñòàòîê è ò.ä. äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì íóëåâîé îñòà-
òîê:

              f (x)      = g(x)q1 (x) + r1 (x),
              g(x)       = r1 (x)q2 (x) + r2 (x),
              r1 (x)     = r2 (x)q3 (x) + r3 (x),
              r2 (x)     = r3 (x)q4 (x) + r4 (x),
              ...        ...
              rk (x)     = rk+1 (x)qk+2 (x) + rk+2 (x),
              rk+1 (x)   = rk+2 (x)qk+3 (x) + 0.
   Òîãäà ÍÎÄ (f (x), g(x)) = rk+2 (x). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåä-
íèé íåíóëåâîé îñòàòîê ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì
èñõîäíûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x).
Ïðåäëîæåíèå 5. Åñëè d(x) åñòü íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü
ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x), òî ìîæíî íàéòè òàêèå ìíîãî÷ëåíû
u(x) è v(x), ÷òî

                  f (x)u(x) + g(x)v(x) = d(x).

Åñëè ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) áîëüøå íóëÿ, òî ìîæíî
äîïîëíèòåëüíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòåïåíü u(x) ìåíüøå ñòåïåíè
g(x), à ñòåïåíü v(x) ìåíüøå ñòåïåíè f (x).




                                 13

Страницы