Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

2 +
√
3
√
5 − 1
=
(2 +
√
3)(
√
5 + 1)
(
√
5 − 1)(
√
5 + 1)
=
=
2
√
5 + 2 +
√
15 +
√
3
4
=
√
5
2
+
1
2
+
√
15
4
+
√
3
4
.
3 −
√
5
3
√
4 + 2
3
√
2 − 3
f(x) g(x)
α
f(x) h(x)
g(α) ·h( α)
u(x) v(x)
f(x)u(x) + g(x)v(x) = C C
x = α f(α)u(α) + g(α)v(α) = C
f(α) = 0 g(α)v(α) = C. h(x)
v(x) v(α)
g(α)
3 −
√
5
3
√
4 + 2
3
√
2 − 3
.
α =
3
√
2 α f(x) =
x
3
−2 g(x) = x
2
+ 2x −3
f(x) = g(x) ·(x −2) + (7x −8), g(x) = (7x −8) ·
µ
x
7
+
22
49
+
29
49
.
íà ìíîæèòåëü, ñîïðÿæåííûé ê çíàìåíàòåëþ. Íàïðèìåð,
                     √         √ √
                 2+ 3      (2 + 3)( 5 + 1)
                 √       = √        √      =
                   5−1    ( 5 − 1)( 5 + 1)
           √         √      √    √         √      √
          2 5 + 2 + 15 + 3         5 1       15     3
       =                       =     + +        +     .
                    4             2   2     4      4
                       √
                   3− 5
   Äëÿ äðîáè √ 3
                      √       òàêæå ñóùåñòâóåò ñîïðÿæåííûé
                 4+232−3
ê çíàìåíàòåëþ ìíîæèòåëü, îäíàêî ïîäîáðàòü ýòîò ìíîæèòåëü
ñëîæíåå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.
Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü f (x) è g(x)  äâà âçàèìíî ïðîñòûõ
ìíîãî÷ëåíà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü α  êî-
ðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí h(x)
ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî ÷èñëî g(α) · h(α) ðàöè-
îíàëüíî.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ àëãîðèòì Åâêëèäà, ïîäáåðåì
òàêèå ìíîãî÷ëåíû u(x) è v(x) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòà-
ìè, ÷òî f (x)u(x) + g(x)v(x) = C , ãäå C  ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Òîãäà ïðè x = α ïîëó÷èì f (α)u(α) + g(α)v(α) = C , ÷òî âìåñòå
ñ f (α) = 0 äàåò g(α)v(α) = C. Ïîýòîìó çà h(x) ìîæíî ïðèíÿòü
ìíîãî÷ëåí v(x). Òàêèì îáðàçîì, v(α) ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûì
ìíîæèòåëåì äëÿ g(α).
   Ïðèìåð. Èçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå
äðîáè                         √
                            3− 5
                         √
                         3
                              √    .
                           4+232−3
                    √
Îáîçíà÷èì α = 3 2, òîãäà α áóäåò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) =
x3 − 2 è çíàìåíàòåëü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå g(x) = x2 + 2x − 3.
Ïðèìåíèì ê ýòèì ìíîãî÷ëåíàì àëãîðèòì Åâêëèäà:
                                                     µ      ¶
                                                       x 22    29
f (x) = g(x) · (x − 2) + (7x − 8), g(x) = (7x − 8) ·    +     + .
                                                       7 49    49

                               16

Страницы