Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

c)
q
A ±
√
B =
s
A +
√
A
2
− B
2
±
s
A −
√
A
2
− B
2
.
a) b)
Ã
2 +
√
3
√
2 +
p
2 +
√
3
+
2 −
√
3
√
2 −
p
2 −
√
3
!
2
;
3
p
2 +
√
5
6
p
9 + 4
√
5 +
3
p
2 +
√
5
.
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
P x
0
P a
0
x
n
0
+ a
1
x
n−1
0
+ . . . + a
n−1
x
0
+ a
n
f(x) x
0
f(x
0
)
f(x
0
) = 0 x
0
f(x)
f(x) = a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+. . . +a
n−1
x+a
n
P x
0
∈ P
x
0
f(x)
f(x) (x − x
0
)
g(x)
P f(x) = (x −x
0
) · g(x)
x
1
, x
2
, . . . , x
k
f(x) k > 1
n f(x)
g(x) P f(x) = (x−x
1
)(x−x
2
) . . . (x−
x
k
) · g(x) deg g (x) = n − k
n > 1
n
                        s                          s
          q                      √                          √
              √             A+       A2   −B           A−   A2 − B
        c) A ± B =                             ±                   .
                                  2                         2

      5.4. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
 a)                          b)
 Ã      √          √    !2        p3
                                       √
      2+ 3       2− 3                2+ 5
   √   p   √ +√   p   √    ; p6
                                   √   p3
                                          √ .
     2+ 2+ 3    2− 2− 3         9+4 5+ 2+ 5

6 Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Êðàòíûå êîðíè
Ïóñòü f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an  ìíîãî÷ëåí ñ
êîýôôèöèåíòàìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ èëè êîëüöà P. Ïóñòü x0 
ýëåìåíò P. Òîãäà âåëè÷èíà a0 xn0 + a1 xn−1
                                         0   + . . . + an−1 x0 + an íà-
çûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ìíîãî÷ëåíà f (x) â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ
f (x0 ).
    Åñëè f (x0 ) = 0, òî x0 íàçûâàþò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x).

Òåîðåìà 3. (Áåçó). Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +. . .+an−1 x+an
 ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè èç íåêîòîðîãî ïîëÿ (êîëüöà)
P è x0 ∈ P. Òîãäà ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
   a) x0  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x);
   b) f (x) äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí (x − x0 );
   c) íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí g(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
   P, ÷òî f (x) = (x − x0 ) · g(x).
Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xk ðàçëè÷íûå êîðíè ìíî-
ãî÷ëåíà f (x), ãäå k > 1  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå
ñòåïåíè n ìíîãî÷ëåíà f (x). Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ìíîãî÷ëåí
g(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç P, ÷òî f (x) = (x−x1 )(x−x2 ) . . . (x−
xk ) · g(x) è deg g(x) = n − k .

Ïðåäëîæåíèå 8. Ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 1 íàä ëþáûì ïîëåì
èìååò â ýòîì ïîëå íå áîëåå n êîðíåé.

                                     18

Страницы