Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

f(x) g(x)
x
f(x) g(x)
P f(x) = g(x)
x ∈ P
f(x) g(x)
f(x) g(x)
⇐⇒ f(x) g(x)
x
0
f(x) f(x)
(x −x
0
) f(x)
x = x
0
f(x)
k > 1 f(x)
x
0
f(x) (x−x
0
)
k
(x − x
0
)
k+1
x
0
k > 1 f(x)
g(x) f(x) = (x − x
0
)
k
· g(x) g(x
0
) 6= 0
x
0
k > 2
f(x) x
0
k − 1
f
0
(x)
x
0
k > 2
f(x) ⇐⇒ f(x
0
) = 0 f
0
(x
0
) = 0 . . . f
(k−1)
(x
0
) = 0
x
0
k > 2
f(x) d(x)
f(x) f
0
(x) x
0
d(x)
   Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x) ðàâíû àëãåáðàè÷åñêè,
åñëè ðàâíû èõ ñòåïåíè è ñîâïàäàþò êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíà-
êîâûõ ñòåïåíÿõ x.
   Ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x), çàäàííûå íàä íåêîòîðûì êîëüöîì
èëè ïîëåì P ðàâíû ôóíêöèîíàëüíî, åñëè f (x) = g(x) ïðè âñåõ
x ∈ P.

Ïðåäëîæåíèå 9. Ïóñòü f (x) è g(x)  ìíîãî÷ëåíû íàä ïðî-
èçâîëüíûì áåñêîíå÷íûì ïîëåì. Òîãäà ìíîãî÷ëåíû f (x) è g(x)
ðàâíû àëãåáðàè÷åñêè ⇐⇒ f (x) è g(x) ðàâíû ôóíêöèîíàëüíî.

   Ïóñòü x0  êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x). Ïî òåîðåìå Áåçó f (x)
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí (x − x0 ). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî f (x) äåëèò-
ñÿ è íà áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü ýòîãî äâó÷ëåíà. Òîãäà x = x0
íàçûâàþò êðàòíûì êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x). Áîëåå òî÷íî:

Îïðåäåëåíèå 6. Êîðíåì êðàòíîñòè k > 1 ìíîãî÷ëåíà f (x)
íàçûâàåòñÿ òàêîé åãî êîðåíü x0 , ÷òî f (x) äåëèòñÿ íà (x−x0 )k ,
íî íå äåëèòñÿ íà (x − x0 )k+1 .

   Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà:
Îïðåäåëåíèå 6*. ×èñëî (ýëåìåíò ïîëÿ) x0 íàçûâàåòñÿ êîð-
íåì êðàòíîñòè k > 1 ìíîãî÷ëåíà f (x), åñëè íàéäåòñÿ ìíîãî-
÷ëåí g(x), äëÿ êîòîðîãî f (x) = (x − x0 )k · g(x) è g(x0 ) 6= 0.

Ïðåäëîæåíèå 10. Ïóñòü x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíî-
ãî÷ëåíà f (x). Òîãäà x0  êîðåíü êðàòíîñòè k − 1 ïðîèçâîäíîé
f 0 (x) ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.

Ïðåäëîæåíèå 11. x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíîãî÷ëåíà
f (x) ⇐⇒ f (x0 ) = 0, f 0 (x0 ) = 0, . . ., f (k−1) (x0 ) = 0.

Ïðåäëîæåíèå 12. Ïóñòü x0  êîðåíü êðàòíîñòè k > 2 ìíî-
ãî÷ëåíà f (x) è d(x)  íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíà
f (x) è åãî ïðîèçâîäíîé f 0 (x). Òîãäà x0  êîðåíü d(x).

                              19

Страницы