Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни. Попов В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

f(x) x − c
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n
f(x) = (x−c)q(x)+r x−c.
q(x) = b
0
x
n−1
+ b
1
x
n−2
+ . . . + b
n−1
.
b
0
= a
0
, b
k
= cb
k−1
+a
k
, k = 1, 2, . . . , n−1, r = cb
n−1
+a
n
.
b
k
b
k−1
c
a
k
f(x) = 2x
4
−x
3
−2x−3 x−3
f(x)
2 −1 0 −2 −3
3 2 3 · 2 − 1 = 5 3 · 5 + 0 = 15 3 · 15 − 2 = 43 3 · 43 − 3 = 126
q(x) = 2x
3
+ 5x
2
+ 15x + 43.
r = f(3) = 126.
2       Ñõåìà Ãîðíåðà
Ñõåìà Ãîðíåðà ðåàëèçóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíî-
ãî÷ëåíà f (x) íà äâó÷ëåí x − c. Ïóñòü

     f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an  èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí

è

f (x) = (x−c)q(x)+r  ðåçóëüòàò åãî äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì íà x−c.

Ïóñòü
                 q(x) = b0 xn−1 + b1 xn−2 + . . . + bn−1 .
Òîãäà

b0 = a0 ,   bk = cbk−1 +ak , ïðè k = 1, 2, . . . , n − 1,        r = cbn−1 +an .

Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò bk âû÷èñëÿåòñÿ ïóòåì óìíîæå-
íèÿ ïðåäûäóùåãî êîýôôèöèåíòà bk−1 íà c è äîáàâëåíèÿ ñîîò-
âåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà ak . Îñòàòîê îïðåäåëÿåòñÿ ïî òîìó
æå ïðàâèëó.
    Ïðèìåð. Ðàçäåëèòü f (x) = 2x4 − x3 − 2x − 3 íà x − 3. Ðåçóëü-
òàò óäîáíî çàïèñàòü â âèäå òàáëèöû, â âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé
ðàñïîëîæåíû êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x), à â íèæíåé 
êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòîê.

        2   −1           0                −2                −3

    3   2   3·2−1=5      3 · 5 + 0 = 15   3 · 15 − 2 = 43   3 · 43 − 3 = 126

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ÷àñòíîå áóäåò

                     q(x) = 2x3 + 5x2 + 15x + 43.

Îñòàòîê r = f (3) = 126.



                                      9

Страницы