ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
L
a, b ∈ L
c ∈ L
a b a + b P
k ∈ P a ∈ L
d ∈ L k
a a k
ka
(a + b) + c 6≡ a + (b + c) a, b, c ∈ L
Ââåäåíèå êî âòîðîé ÷àñòè
Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì
èç âàæíåéøèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ñîâðåìåííîé ìàòå-
ìàòèêè. Ôàêòè÷åñêè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè êàê ñ ìàòå-
ìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè ìû âïåðâûå ñòàëêèâàåìñÿ â øêîëüíîì
êóðñå ìàòåìàòèêè. Íà óðîêàõ ãåîìåòðèè èçó÷àåòñÿ òåìà "Âåê-
òîðû íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå". Ýòè ìíîæåñòâà ïðåäñòàâ-
ëÿþò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Ìîæåò ïî-
êàçàòüñÿ àáñóðäíûì, íî ÿðêèì ïðèìåðîì (â ïðÿìîì è ïåðåíîñ-
íîì ñìûñëå) ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
êðàñîê. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé öâåò ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ
òîëüêî òðè öâåòà, íàïðèìåð, êðàñíûé, çåëåíûé, ñèíèé. Íàñòîÿ-
ùåå ïîñîáèå ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàäà÷, ðåøåíèå êîòî-
ðûõ áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü ëó÷øåìó ïîíèìàíèþ è óñâîåíèþ òåî-
ðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ïî òåìå "Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà". Äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî äàííîé òåìå, äëÿ îòðàáîò-
êè è ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ
èñïîëüçîâàòü òàêæå çàäà÷íèêè [7][10].
1 Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
Ïóñòü L íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò-
ñÿ âåêòîðàìè, ïðè÷åì ëþáûì äâóì âåêòîðàì a, b ∈ L ñîïîñòàâ-
ëåí åäèíñòâåííûé âåêòîð c ∈ L, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ñóììîé
âåêòîðîâ a è b è îáîçíà÷àåòñÿ a + b. Ïóñòü òàêæå P íåêîòîðîå
ïîëå, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ ñêàëÿðàìè è äëÿ ëþáîãî
ñêàëÿðà k ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L îïðåäåëåí åäèíñòâåííûé
âåêòîð d ∈ L, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñêàëÿðà k íà
âåêòîð a, èëè ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà ñêàëÿð k , è îáîçíà-
÷àåòñÿ ka. Ïóñòü òàêæå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû:
1) (a + b) + c 6≡ a + (b + c) äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b, c ∈ L
(àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);
3
