Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

a + b = b + a a, b ∈ L
0 ∈ L a + 0 =
0 + a = a a ∈ L
a ∈ L b ∈
L a + b = 0 b
a −a
(k
1
+ k
2
)a = k
1
a + k
2
a k
1
, k
2
∈ P
a ∈ L
k(a + b) = ka + kb k ∈ P
a, b ∈ L
k
1
(k
2
a) = (k
1
k
2
)a k
1
, k
2
∈ P
a ∈ L
1 · a = a a ∈ L
L P
P
L
C L
 2) a + b = b + a äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ L, (êîììóòàòèâ-
    íîñòü ñëîæåíèÿ);
 3) ñóùåñòâóåò íóëåâîé âåêòîð 0 ∈ L, äëÿ êîòîðîãî a + 0 =
    0 + a = a ïðè ëþáîì a ∈ L;
 4) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð b ∈
    L, ÷òî a + b = 0 (âåêòîð b íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûì
    âåêòîðîì ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó a è îáîçíà÷àþò −a);
 5) (k1 + k2 )a = k1 a + k2 a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ k1 , k2 ∈ P è
    ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L;
 6) k(a + b) = ka + kb äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðà k ∈ P è ëþáûõ
    âåêòîðîâ a, b ∈ L;
 7) k1 (k2 a) = (k1 k2 )a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ k1 , k2 ∈ P è ëþáîãî
    âåêòîðà a ∈ L;
 8) 1 · a = a äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L.

Òîãäà L íàçûâàþò âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì P .

   ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå ïîëÿ ñêàëÿðîâ P ðàññìàòðèâàþò ïîëå
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (è òîãäà L íàçûâàþò âåùåñòâåííûì âåê-
òîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, èëè ïðîñòî âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì),
èëè ïîëå C êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (â ýòîì ñëó÷àå L  êîìïëåêñíîå
âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî). Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ
òàêæå ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè.

  Ïðèìåðû.


  1. Ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè (èëè òðåõìåðíîãî ïðî-
     ñòðàíñòâà), îáðàçóåò âåùåñòâåííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî
     îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíî-
     æåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.

                               4

Страницы