Построение графиков функций. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

34 §5. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
2. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ
f
00
(x) ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÂÉ-
×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÏÓØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ).
3. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁË ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÏÊ (ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ). ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌ-
ÏÓÔÉ É ÎÁÌÉÞÉÅ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
4. îÁÊÔÉ ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
y = 3x
4
− 8x
3
+ 6x
2
+ 12.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ:
y
00
(x) = 36x
2
− 48x + 12 = 36(x − 1)
x −
1
3
.
2. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x É ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ
x = 1 É ÐÒÉ x =
1
3
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÒÏÄÁ: x = 1 É x =
1
3
.
3. úÎÁËÉ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ
−∞;
1
3
ÉÍÅÅÍ y
00
(x) > 0, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
1
3
; 1
ÉÍÅÅÍ y
00
(x) < 0, ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (1; +∞) ÉÍÅÅÍ y
00
(x) > 0.
æÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
1
3
; 1
É ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÁÈ
−∞;
1
3
É (1; +∞). ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ x =
1
3
É x = 1 ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ
×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ x =
1
3
É x = 1 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
4. îÁÈÏÄÉÍ ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ: y
1
3
= 12
11
27
, y(1) = 13.
ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
y =
1
x
2
+1
.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
=
2(3x
2
−1)
x
2
+1)
3
.
2. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x, ÏÎÁ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ
ÐÒÉ x = −
1
√
3
É x =
1
√
3
. îÁÊÄÅÎÎÙÊ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
3. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
00
> 0 É y
00
< 0. éÍÅÅÍ: y
00
> 0 ÉÌÉ
2(3x
2
−1)
x
2
+1)
3
> 0,
ÏÔËÕÄÁ x < −
1
√
3
, x >
1
√
3
; y
00
< 0, ÏÔËÕÄÁ −
1
√
3
< x <
1
√
3
. òÉÓÕÅÍ ÓÈÅÍÕ.
34                   §5. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ

     2. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ
        f 00(x) ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÂÉ-
        ×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÏÓØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ).
     3. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁË ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏ-
        ÉÚ×ÏÄÎÏÊ (ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ). ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌ-
        ÏÓÔÉ É ÎÁÌÉÞÉÅ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
     4. îÁÊÔÉ ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
y = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 12.
   òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ:
                                                           
                                                          1
               y 00 (x) = 36x2 − 48x + 12 = 36(x − 1) x −     .
                                                          3
   2. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x É ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ
x = 1 É ÐÒÉ x = 31 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÒÏÄÁ: x = 1 É x = 13 .
   3. úÎÁËÉ ×ÔÏÒÏÊ     ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
                                                     ÏÂÒÁÚÏÍ:     ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
            1            00                      1              00
              
×ÁÌÅ −∞; 3 ÉÍÅÅÍ y (x) > 0, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 3 ; 1 ÉÍÅÅÍ y (x) < 0, ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (1; +∞) ÉÍÅÅÍ y 00 (x) > 0.
   æÕÎËÃÉÑ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 13 ; 1 É ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×Á-
                                              

ÌÁÈ −∞; 13 É (1; +∞). ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ x = 13 É x = 1 ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ
×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ x = 31 É x = 1 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
   4. îÁÈÏÄÉÍ ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ: y 31 = 12 11
                                             
                                                   27 , y(1) = 13.
   ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
y = x21+1 .
                                                                2
   òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = 2(3x              −1)
                                                                x2 +1)3 .
   2. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x, ÏÎÁ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ
ÐÒÉ x = − √13 É x = √13 . îÁÊÄÅÎÎÙÊ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
                                                                             2
   3. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y 00 > 0 É y 00 < 0. éÍÅÅÍ: y 00 > 0 ÉÌÉ 2(3x         −1)
                                                                          x +1)3 > 0,
                                                                           2

ÏÔËÕÄÁ x < − √13 , x > √13 ; y 00 < 0, ÏÔËÕÄÁ − √13 < x < √13 . òÉÓÕÅÍ ÓÈÅÍÕ.

Страницы