Построение графиков функций. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

36 §6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ
6. îÁÊÔÉ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅ-
ÍÕÍÁ.
7. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÊÔÉ ÔÏÞ-
ËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
8. éÓÐÏÌØÚÕÑ ×ÓÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÐÒÏÃÅÓÓÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÔÒÏÇÏ
ÐÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÐÒÉ×ÅľÎÎÏÊ ÓÈÅÍÙ, ÉÎÏÇÄÁ ÕÄÏÂÎÅÅ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÐÏÒÑÄÏË ÉÓ-
ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
y = x(x + 1)(x − 1).
òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ.
2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
3. æÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Ox: x = 0, x = 1, x = −1.
ó ÏÓØÀ Oy ÆÕÎËÃÉÑ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y = 0.
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ. òÅÛÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
x(x + 1)(x − 1) > 0. åÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×:
(−1; 0) É (1; +∞). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−1; 0) É (1; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −1) É
(0; 1) (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ).
5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→+∞
x(x + 1)(x − 1) = +∞, lim
x→−∞
x(x + 1)(x − 1) = −∞.
îÁÊÄ¾Í ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
k = lim
x→∞
y
x
= lim
x→∞
(x + 1)(x − 1) = ∞.
úÎÁÞÉÔ, ÎÁËÌÏÎÎÙÈ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. ÷ÅÒ-
ÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÔÏÖÅ ÎÅÔ, ÔÁË ËÁË ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á É ÆÕÎË-
ÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ.
6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
= 3x
2
−1. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
0
> 0 É y
0
< 0.
éÍÅÅÍ: y
0
> 0 ÉÌÉ 3x
2
− 1 > 0, ÏÔËÕÄÁ x < −
1
√
3
, x >
1
√
3
; y
0
< 0, ÏÔËÕÄÁ
−
1
√
3
< x <
1
√
3
. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
−∞; −
1
√
3
É
1
√
3
; +∞
ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
−
1
√
3
;
1
√
3
¡ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏ-
ÄÁ: y
0
= 3x
2
− 1, ÏÔËÕÄÁ x =
1
√
3
, x = −
1
√
3
. òÉÓÕÅÍ ÓÈÅÍÕ (ÒÉÓ. Á)), ÉÚ ËÏ-
ÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = −
1
√
3
ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÕÍ, Á × ÔÏÞËÅ
36             §6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ

     6. îÁÊÔÉ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅ-
        ÍÕÍÁ.
     7. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÊÔÉ ÔÏÞ-
        ËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ.
     8. éÓÐÏÌØÚÕÑ ×ÓÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ.
    úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÐÒÏÃÅÓÓÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÔÒÏÇÏ
ÐÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÐÒÉ×ÅľÎÎÏÊ ÓÈÅÍÙ, ÉÎÏÇÄÁ ÕÄÏÂÎÅÅ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÐÏÒÑÄÏË ÉÓ-
ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ.
    ðÒÉÍÅÒ 1. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
y = x(x + 1)(x − 1).
    òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ.
    2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
    3. æÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
    4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Ox: x = 0, x = 1, x = −1.
ó ÏÓØÀ Oy ÆÕÎËÃÉÑ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y = 0.
    ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ. òÅÛÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
x(x + 1)(x − 1) > 0. åÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×:
(−1; 0) É (1; +∞). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−1; 0) É (1; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −1) É
(0; 1) (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ).
    5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
    ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
          lim x(x + 1)(x − 1) = +∞,      lim x(x + 1)(x − 1) = −∞.
        x→+∞                            x→−∞
   îÁÊÄ¾Í ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
                             y
                     k = lim = lim (x + 1)(x − 1) = ∞.
                         x→∞ x   x→∞
úÎÁÞÉÔ, ÎÁËÌÏÎÎÙÈ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. ÷ÅÒ-
ÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÔÏÖÅ ÎÅÔ, ÔÁË ËÁË ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á É ÆÕÎË-
ÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ.
   6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = 3x2 − 1. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y 0 > 0 É y 0 < 0.
éÍÅÅÍ: y 0 > 0 ÉÌÉ 3x2 − 1 > 0, ÏÔËÕÄÁ x < − √13 , x > √13 ; y 0 < 0, ÏÔËÕÄÁ
                                                                         
   1           1                                             1        1
− √3 < x < √3 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ −∞; − √3 É √3 ; +∞
                                                            
                                                        1 √1
ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ − 3 ; 3 ¡ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
                                                        √

ÕÂÙ×ÁÅÔ.
   ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏ-
ÄÁ: y 0 = 3x2 − 1, ÏÔËÕÄÁ x = √13 , x = − √13 . òÉÓÕÅÍ ÓÈÅÍÕ (ÒÉÓ. Á)), ÉÚ ËÏ-
ÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = − √13 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÕÍ, Á × ÔÏÞËÅ

Страницы