Построение графиков функций. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

38 §6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ
3. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ Þ¾ÔÎÏÊ, ÎÉ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Ox × ÔÏËÅ (1; 0) É ÏÄÎÕ
ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Oy × ÔÏÞËÅ (0; −1).
æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x > 1 É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x < 1.
5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→+∞
(x
2
+ 1)(x − 1) = +∞, lim
x→−∞
(x
2
+ 1)(x − 1) = −∞.
îÁÊÄ¾Í ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
k = lim
x→∞
y
x
= lim
x→∞
(x
2
+ 1)(x − 1)
x
= ∞.
úÎÁÞÉÔ, ÎÁËÌÏÎÎÙÈ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. îÅÔ
É ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ (ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ É ÎÅÔ
ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á).
6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
= 3x
2
− 2x + 1. îÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ y
0
=
= 3x
2
− 2x + 1 > 0, ÚÎÁÞÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. üËÓÔÒÅÍÕÍÏ×
ÎÅÔ.
7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
= 6x−2. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
00
> 0
É y
00
< 0. éÍÅÅÍ: y
00
> 0 ÉÌÉ 6x −2 > 0, ÏÔËÕÄÁ x >
1
3
; y
00
< 0, ÏÔËÕÄÁ x <
1
3
.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: y
00
= 6x − 2 = 0, ÏÔËÕÄÁ x =
1
3
. éÚ ÓÈÅÍÙ (ÒÉÓ. Á)) ÓÌÅÄÕÅÔ,
ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x =
1
3
ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÅÒÅÇÉÂ. îÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
−∞;
1
3
ÆÕÎËÃÉÑ
×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
1
3
; ∞
¡ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ. îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÕ
ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ: y
ÐÅÒ
= −
20
27
.
8. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÎÁ ÒÉÓ. Â).
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
y =
2x
x
2
+1
.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ.
2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
3. æÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ¡ ÔÏÞËÕ
(0; 0).
38               §6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ

   3. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ Þ¾ÔÎÏÊ, ÎÉ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
   4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Ox × ÔÏËÅ (1; 0) É ÏÄÎÕ
ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ Oy × ÔÏÞËÅ (0; −1).
   æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x > 1 É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x < 1.
   5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
   ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
           lim (x2 + 1)(x − 1) = +∞,         lim (x2 + 1)(x − 1) = −∞.
          x→+∞                             x→−∞

     îÁÊÄ¾Í ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
                               y        (x2 + 1)(x − 1)
                      k = lim = lim                     = ∞.
                           x→∞ x   x→∞         x
úÎÁÞÉÔ, ÎÁËÌÏÎÎÙÈ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. îÅÔ
É ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ (ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ É ÎÅÔ
ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á).
   6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = 3x2 − 2x + 1. îÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ y 0 =
= 3x2 − 2x + 1 > 0, ÚÎÁÞÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. üËÓÔÒÅÍÕÍÏ×
ÎÅÔ.
   7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = 6x−2. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y 00 > 0
É y 00 < 0. éÍÅÅÍ: y 00 > 0 ÉÌÉ 6x − 2 > 0, ÏÔËÕÄÁ x > 31 ; y 00 < 0, ÏÔËÕÄÁ x < 13 .




    ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: y 00 = 6x − 2 = 0, ÏÔËÕÄÁ x = 31 . éÚ ÓÈÅÍÙ (ÒÉÓ. Á)) ÓÌÅÄÕÅÔ,
                  1                                              1
ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = 3 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÅÒÅÇÉÂ.   îÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ −∞; 3 ÆÕÎËÃÉÑ
                                  1
                                      
×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 3 ; ∞ ¡ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ. îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÕ
ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ: yÐÅÒ = − 20
                          27 .
    8. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÎÁ ÒÉÓ. Â).
    ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
y = x22x+1 .
    òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ.
    2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
    3. æÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
    4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ¡ ÔÏÞËÕ
(0; 0).

Страницы