Построение графиков функций. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ 39
æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ (−∞; 0).
5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→+∞
2x
x
2
+ 1
= 0, lim
x→−∞
2x
x
2
+ 1
= 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ y = 0. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ
ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ.
6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
=
−2x
2
+2
(x
2
+1)
2
. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
0
> 0 É y
0
< 0.
éÍÅÅÍ: y
0
> 0 ÉÌÉ
−2x
2
+2
(x
2
+1)
2
> 0, ÏÔËÕÄÁ −1 < x < 1, y
0
< 0, ÏÔËÕÄÁ x < −1, x >
> 1. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −1) É (1; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1) ¡ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏ-
ÄÁ: y
0
=
−2x
2
+2
(x
2
+1)
2
= 0, ÏÔËÕÄÁ x = −1, x = 1. éÚ ÓÈÅÍÙ (ÒÉÓ. Á)) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
× ÔÏÞËÅ x = −1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ, Á × ÔÏÞËÅ x = 1 ¡ ÍÁËÓÉÍÕÍ.
îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË: ÅÓÌÉ x = −1, ÔÏ y
min
= −1; ÅÓÌÉ
x = 1, ÔÏ y
max
= 1.
7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
=
4x
3
−12x
(x
2
+1)
3
. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
00
>
> 0 É y
00
< 0. éÍÅÅÍ: y
00
> 0 ÉÌÉ
4x
3
−12x
(x
2
+1)
3
> 0, ÏÔËÕÄÁ −
√
3 < x < 0, x >
√
3;
y
00
< 0, ÏÔËÕÄÁ 0 < x <
√
3, x < −
√
3.
§6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ                              39




   æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ (−∞; 0).
   5. ôÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÎÅÔ.
   ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
                              2x                    2x
                        lim        = 0,       lim        = 0.
                       x→+∞ x2 + 1           x→−∞ x2 + 1

   óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ y = 0. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ
ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ.
                                    2
   6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = −2x   +2                      0       0
                                (x +1)2 . òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y > 0 É y < 0.
                                  2
                        2
éÍÅÅÍ: y 0 > 0 ÉÌÉ −2x      +2                                 0
                       (x2 +1)2 > 0, ÏÔËÕÄÁ −1 < x < 1, y < 0, ÏÔËÕÄÁ x < −1, x >
> 1. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −1) É (1; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1) ¡ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.
     ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏ-
                2
ÄÁ: y 0 = −2x     +2
           (x2 +1)2 = 0, ÏÔËÕÄÁ x = −1, x = 1. éÚ ÓÈÅÍÙ (ÒÉÓ. Á)) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
× ÔÏÞËÅ x = −1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ, Á × ÔÏÞËÅ x = 1 ¡ ÍÁËÓÉÍÕÍ.
îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË: ÅÓÌÉ x = −1, ÔÏ ymin = −1; ÅÓÌÉ
x = 1, ÔÏ ymax = 1.
                                                      3
     7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = 4x           −12x                       00
                                                    (x2 +1)3 . òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y >
                                           3                       √               √
> 0 É y 00 < 0. éÍÅÅÍ: y 00 > 0 ÉÌÉ 4x       −12x
                                         (x2 +1)3 >  0,  ÏÔËÕÄÁ  −  3 < x < 0, x >    3;
                              √          √
y 00 < 0, ÏÔËÕÄÁ 0 < x < 3, x < − 3.

Страницы