Построение графиков функций. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ 41
äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÒÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y > 0
ÉÌÉ
x
x
2
−4
> 0, ÏÔËÕÄÁ −2 < x < 0 É x > 2. æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÁÈ (−2; 0) É (2; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ (× ÓÉÌÕ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
(−∞; −2) É (0; 2).
5. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ¡ x = 2 É x = −2.
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→−∞
=
x
x
2
− 4
= 0, lim
x→+∞
=
x
x
2
− 4
= 0,
lim
x→−2−
=
x
x
2
− 4
= −∞, lim
x→−2+
=
x
x
2
− 4
= +∞,
lim
x→2−
=
x
x
2
− 4
= −∞, lim
x→2+
=
x
x
2
− 4
= +∞.
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÁÈ x = 2 É x = −2 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ×Ù
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ. ðÒÑÍÙÅ x = 2 É x = −2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ÁÓÉÍÐÔÏ-
ÔÁÍÉ, ÐÒÑÍÁÑ y = 0 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
= −
x
2
+4
(x
2
−4)
2
. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ
ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞÅË x = 2 É x = −2, ÇÄÅ ÏÎÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (× ÜÔÉÈ
ÔÏÞËÁÈ É ÓÁÍÁ ÆÕÎËÃÉÑ Î ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ). æÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ×ÓÀÄÕ,
ÇÄÅ ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ.
7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
=
2x(x
2
+12)
(x
2
−4)
3
. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
00
>
> 0 É y
00
< 0. éÍÅÅÍ: y
00
> 0 ÉÌÉ
2x(x
2
+12)
(x
2
−4)
3
> 0, ÏÔËÕÄÁ −2 < x < 0, x > 2;
y
00
< 0, ÏÔËÕÄÁ x < −2, 0 < x < 2.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: x = 0. éÚ ÓÈÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÅ-
ÒÅÇÉ (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ É ÉÚ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ). îÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−2; 0)
É (2; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −2) É (0; 2) ¡ ×Ù-
ÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ. îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÕ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ: y
ÐÅÒ
= 0.
8. ðÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÜÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ. ôÁË ËÁË y =
x
(x−2)(x+2)
,
ÔÏ ÐÒÉ x → 0 ÉÍÅÅÍ y ∼ −4x; ÐÒÉ x → 2 ÐÏÌÕÞÉÍ y ∼
1
2
·
1
x−2
; ÐÒÉ x → −2
ÎÁÈÏÄÉÍ y ∼
1
2
·
1
x+2
; ÐÒÉ x → ∞ ÉÍÅÅÍ y ∼
1
x
→ 0.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÐÏÎÑÔÎÙÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ x = 0, ×
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á É ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁÖ¾Î
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.
§6. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ                       41

   äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÒÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y > 0
ÉÌÉ x2x−4 > 0, ÏÔËÕÄÁ −2 < x < 0 É x > 2. æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÁÈ (−2; 0) É (2; +∞) É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ (× ÓÉÌÕ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
(−∞; −2) É (0; 2).
   5. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ¡ x = 2 É x = −2.
   ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
                            x                                x
                    lim = 2     = 0,          lim = 2          = 0,
                   x→−∞   x −4              x→+∞         x −4
                          x                                  x
                lim = 2       = −∞,           lim = 2           = +∞,
               x→−2−    x −4                x→−2+         x −4
                          x                                 x
                 lim = 2      = −∞, lim = 2                    = +∞.
                x→2−    x −4                x→2+        x −4
   ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÁÈ x = 2 É x = −2 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ×Ù
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ. ðÒÑÍÙÅ x = 2 É x = −2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ÁÓÉÍÐÔÏ-
ÔÁÍÉ, ÐÒÑÍÁÑ y = 0 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
                                      2
   6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = − (xx2 −4)
                                        +4
                                           2 . ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ

ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞÅË x = 2 É x = −2, ÇÄÅ ÏÎÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (× ÜÔÉÈ
ÔÏÞËÁÈ É ÓÁÍÁ ÆÕÎËÃÉÑ Î ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ). æÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ×ÓÀÄÕ,
ÇÄÅ ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ.
                                                     2
   7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = 2x(x          +12)                    00
                                                 (x −4)3 . òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y >
                                                   2
                                        2
> 0 É y 00 < 0. éÍÅÅÍ: y 00 > 0 ÉÌÉ 2x(x  +12)
                                     (x2 −4)3 > 0, ÏÔËÕÄÁ −2 < x < 0, x > 2;
y 00 < 0, ÏÔËÕÄÁ x < −2, 0 < x < 2.
     ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ
×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: x = 0. éÚ ÓÈÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÅ-
ÒÅÇÉ (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ É ÉÚ ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ). îÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−2; 0)
É (2; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ (−∞; −2) É (0; 2) ¡ ×Ù-
ÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ. îÁÊÄ¾Í ÏÒÄÉÎÁÔÕ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ: yÐÅÒ = 0.




                                                                    x
   8. ðÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÜÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ. ôÁË ËÁË y = (x−2)(x+2) ,
ÔÏ ÐÒÉ x → 0 ÉÍÅÅÍ y ∼ −4x; ÐÒÉ x → 2 ÐÏÌÕÞÉÍ y ∼ 21 · x−21
                                                            ; ÐÒÉ x → −2
             1   1                        1
ÎÁÈÏÄÉÍ y ∼ 2 · x+2 ; ÐÒÉ x → ∞ ÉÍÅÅÍ y ∼ x → 0.
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÐÏÎÑÔÎÙÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ x = 0, ×
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á É ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁÖ¾Î
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.

Страницы