Составители:
Рубрика:
3
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Первообразная и неопределенный интеграл
В разделе “Дифференциальное исчисление функций одной пере-
менной” было введено понятие производной функции и были полу-
чены правила ее нахождения. Теперь мы переходим к решению об-
ратной задачи, а именно: известна функция
)(
x
f
, требуется найти та-
кую функцию
)(
x
F
, производная которой )(
x
F
′
совпадает с )(
x
f
. С
точки зрения механики это означает, что по известной скорости
)(
t
v
движения материальной точки по прямой требуется найти закон ее
движения
)(
t
S
, учитывая, что )()(
t
v
t
S
=
′
.
Исходным понятием в интегральном исчислении является поня-
тие первообразной.
Определение. Функция
)(
x
F
называется первообразной функ-
цией для функции
)(
x
f
на некотором промежутке, если во всех точ-
ках этого промежутка функция
)(
x
f
является производной для функ-
ции
)(
x
F
, т.е.
)()(
x
f
x
F
=
′
.
Пример. Функция
3
)( xxF = является первообразной для функ-
ции
2
3)( xxf = на всей числовой оси.
Задача о нахождении первообразной для данной функции имеет
не единственное решение. Так, например, для функции
x
cos перво-
образными будут функции
3sin,5sin,sin −+ xxx
, и вообще любая
функция вида
C
x
+sin , где C - произвольное число. Структура мно-
жества всех первообразных для данной функции
)(
x
f
определяется
следующей теоремой.
Теорема 1. Если
)(
x
F
- первообразная для функции
)(
x
f
на не-
котором промежутке, то любая первообразная для
)(
x
f
на этом про-
межутке может быть представлена в виде
C
x
F
+
)( , где C - некоторая
постоянная.
Доказательство. Пусть функция )(
x
Φ
- любая первообразная
для
)(
x
f
на некотором промежутке, т.е. )()(
x
f
x
=
Φ
′
на
рассматриваемом промежутке.
