ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
140
13. ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕ-
НИЯ НА УВЕЛИЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ КОРРЕЛЯ-
ЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Цель работы:
изучение погрешностей аппроксимации корреляционных функций
ортогональными функциями.
13.1. Теоретические основы лабораторной работы
Запишем погрешность аппроксимации КФ в виде
(
)
(
)
1
=
τ
μ
:
() ( )
mind,K
2
0
m
0k
k
^
k
2
xx
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∫
∑
∞
=
τατψβστΔ
, (13.1)
где
^
k
β
– оценка коэффициента
k
β
.
С учетом свойств ортогональных функций [21, 22, 23]
()
∑∑
∫
==
∞
+−=
m
k
k
m
k
k
^
xkk
k
^
xx
dK
0
2
0
24
2
4
0
2
2
ψβσψββσττΔ
. (13.2)
Выражение (13.2) является функцией случайных оценок коэффициентов раз-
ложения
^
k
β
. Считая отклонения оценок от коэффициентов разложения малыми, раз-
ложим выражение (13.2) в ряд Тейлора относительно
^
k
β
в окрестности
k
β
, ограни-
чившись квадратичными членами
()
∑∑
∫
==
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−=
m
k
m
k
k
k
^
kxkkxx
dK
00
2
2
4
2
24
0
2
ββψσψβσττΔ
. (13.3)
В общем случае оценка коэффициентов разложения
k
β
смещена, поэтому
k,cм
k
k
^
k
Δβββ
++=
o
. (13.4)
С учетом того, что
()
∑
∫
=
∞
−=
m
k
kkxxmin
dK
0
2
24
0
2
ψβσττΔ
, (13.5)
выражение (13.3) приведем к виду
mmin
Δ
Δ
Δ
+= , (13.6)
где
∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
m
0k
2
k,см
k
2
k
4
xm
ΔβψσΔ
o
.
Математическое ожидание погрешности аппроксимации равно
[] [ ]
(
)
∑
=
++=+=
m
0k
2
k,см
2
k
2
k
4
xminmmin
MM
ΔσψσΔΔΔΔ
. (13.7)
Из выражения (13.7) видно, что математическое ожидание погрешности ап-
проксимации, кроме минимальной погрешности, содержит вторую составляющую,
численное значение которой линейно зависит от погрешности оценки коэффициентов
разложения и увеличивается с увеличением числа членов разложения ряда
m . Следу-
ет отметить, что в общем случае с увеличением числа членов разложения ряда
min
Δ
уменьшается. Следовательно, существует минимум погрешности по
m (см. рис. 13.1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
