Составители:
Рубрика:
5
Раздел 2. Отношения на множествах
Основные виды отношений; функции и отображения; свойства от-
ношений; отношения эквивалентности и порядка.
Литература: [1, c. 7, 8].
Отношение используется как термин для обозначения связи между
предметами или понятиями (а ∈ А, р делится на 2). Отношение, называ-
емое бинарным, относится к связи пары объектов, рассматриваемых в
определенном порядке, и обозначается (х, у), где х – первая, а у – вторая
координата упорядоченной пары.
Бинарное (двуместное) отношение
ρ
определяется как множество
упорядоченных пар. Выражения (х, у)∈
ρ
и х
ρ
у взаимозаменяемы, и
говорят, что х
ρ
– относится к у. Для некоторых отношений (равенства,
принадлежности, включения, сравнения и др.) приняты специальные
обозначения (х = у, х ∈ А, A ⊆ B, х < y).
Областью определения бинарного отношения
ρ
(обозначается D
ρ
)
называется множество {x | существует у, (х, у) ∈
ρ
} (символ | читается
“если”). Областью значений бинарного отношения с (обозначается R
ρ
)
называется множество {y | существует x, (х, у)∈
ρ
}. Иными словами,
область определения – это множество первых координат элементов из
ρ
, а область значений – множество вторых координат элементов из
ρ
.
Например, отношение равенства целых чисел (Z) есть множество {(x, y)
| x, y ∈ Z и x = y}. Область определения D
ρ
совпадает с областью значе-
ний R
ρ
и является множеством целых чисел Z.
Прямое (декартово) произведение: операция ×. Пусть А и В – два мно-
жества. Через А×В обозначим множество, состоящее из упорядоченных пар
(a, b), таких, что а ∈ А, b ∈ В. Иначе говоря, р ∈ А × В тогда и только тогда,
когда р есть пара (a, b), причем а ∈ А, b ∈ B. Пусть |A| = m, |B| = n –
количество элементов множеств А, В, тогда |A × B| = |A|⋅|B| = m⋅n. Напри-
мер, пусть A = {a, b}, B = {c, d, e}, тогда А × В = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c),
(b, d), (b, e)}.
Упорядоченным произведением множества V самого на себя (V × V = V
2
)
называется множество всех упорядоченных пар (s, t), где s ∈ V и t ∈ V. Здесь
(s, t) и (t, s) рассматриваются как различные элементы, исключая случай s =
=t. Если число элементов |V| = n, то |V
× V| = n
2
упорядоченных пар. Напри-
мер, пусть V = {v
1
, v
2
, v
3
}, тогда V
× V = {(v
1
, v
1
), (v
1
, v
2
), (v
1
, v
3
), (v
2
, v
1
),
(v
2
, v
2
), (v
2
, v
3
), (v
3
, v
1
), (v
3
, v
2
), (v
3
, v
3
)}.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
