ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ответствует n! способов расположения нечетных чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому, по
правилу умножения общее число перестановок указанного типа равно:
2
)!(!! nnn =⋅
.
Ответ.
2
)!(n
.
Задача. Имеется 4 сорта чая, 5 сортов конфет и 6 сортов печенья. Сколькими способами можно ор-
ганизовать чаепитие-дегустацию на трех человек, если каждый может выпить одну чашку чая опреде-
ленного сорта с одной конфетой и одним печеньем?
Решение. Используя правило произведения, подсчитаем, что:
1) число способов распределить сорта чая для трех дегустаторов равно 4
3
;
2) число способов распределить по одной конфете определенного сорта для трех дегустаторов рав-
но 5
3
;
3) число способов распределить по одному печенью определенного для трех дегустаторов равно 6
3
.
Применяя еще раз правило произведения, мы получим, что число способов организовать данное
чаепитие-дегустацию равно
4
3
⋅ 5
3
⋅ 6
3
= 1 728 000.
Ответ. 1 728 000.
КОМБИНАЦИИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
При решении комбинаторных задач часто приходится сталкиваться с комбинациями, в которых
один и тот же элемент участвует более одного раза − такие комбинации называются комбинациями с
повторениями. Рассмотрим комбинации с повторениями более подробно.
Рассмотрим сначала задачу. Сколько различных трехзначных чисел можно записать при помощи
цифр 4 и 5?
Решение. Возможны четыре случая.
1. В трехзначное число цифра 4 не входит, т.е. 555.
2. В трехзначное число цифра 4 входит один раз, т.е. 455, 545, 554.
3. В трехзначное число цифра 4 входит два раза, т.е. 445, 454, 544.
4. В трехзначное число цифра 4 входит три раза, т.е. 444.
Таким образом, различных трехзначных чисел из цифр 4, 5 можно составить 1 + 3 + 3 + 1 = 8 штук.
Эти числа отличаются или составом цифр, или их порядком, что соответствует комбинациям под назва-
нием размещения. Но это не совсем обычные размещения, они допускают повторение элементов.
Определение. Размещением с повторениями из m элементов по k элементов называется такое упо-
рядоченное множество, которое содержит k элементов, причем один и тот же элемент может входить в
это множество несколько раз (от нуля до k).
Пример. Составим из трех элементов А, В, С размещения с повторениями из 3-х элементов по 2
элемента (или короче: размещение с повторениями из 3-х по 2):
АА ВВ СС
АС ВА СВ
АВ ВС СА.
Заметим, что размещения с повторениями одинаковы, если они совпадают как элементами, так и
порядком их расположения.
Число всех размещений с повторениями из m по k обозначается символом
k
m
А (обратите внимание
на отличие от обозначения числа размещений из n по k − у данного обозначения сверху расположена
черта).
Теорема. Число всех размещений с повторениями из m по k равно
k
m , т.е.
k
m
А =
k
m .
Доказательство. В размещении с повторениями из m по k есть k «мест» и на каждом «месте» мо-
жет быть один из m элементов. Следовательно, по правилу произведения, число всех размещений с по-
вторениями из m по k равно
k
m .
Теорема доказана.
Задача. Сколько различных пятизначных чисел можно составить при помощи цифр 1, 2, 3?
Решение. Согласно предыдущему, искомое число равно .2433
55
3
==А
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
