Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следствие.
)!(
!
kn
n
A
k
n
−
=
.
Доказательство. После очевидных преобразований получим:
.
)!(
!
)(...21
)1()2(...)1()(...21
)1(...)2)(1(
kn
n
kn
nnnknkn
knnnnA
k
n
−
=
−⋅⋅⋅
⋅−⋅−⋅⋅+−⋅−⋅⋅⋅
=
=+−−−=
Следствие доказано.
Теорема. Число перестановок из n элементов подсчитывается по формуле:
.)1(321! nnnP
n
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅== K
Доказательство. Перестановки являются частным случаем размещений, а именно, перестановка из
n элементов – это размещение из n элементов по n элементов. Поэтому:
nnn
n
nn
n
AP
n
nn
⋅−⋅⋅⋅⋅===
−
== )1(321!
!0
!
)!(
!
K
.
Теорема доказана.
Теорема. Число сочетаний из n элементов по k элементов подсчитывается по формуле:
)!(!
!
knk
n
P
A
С
k
k
n
k
n
−
==
.
Доказательство. Подсчитаем число всех сочетаний из n по k следующим образом. Сначала обра-
зуем все возможные неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Их число равно:
k
n
С .
Затем из каждого полученного подмножества перестановкой его элементов получим все упорядоченные
подмножества из k элементов, которых будет в k! раз больше, так как каждое k-элементное множество
можно упорядочить k! способами. Следовательно:
k
n
k
n
CkA != . Теорема доказана.
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача. Максимально возможное количество матчей, которое можно организовать в высшей лиге
футбольного дивизиона страны не должно превышать 160 в один круг. Сколько (максимально) команд
можно включить в состав высшей лиги.
Решение. Обозначим возможное количество команд через n, тогда число сыгранных матчей равно
2
n
C , по условию
2
n
C ≤ 160. Пусть
2
n
C = 160, тогда:
160
)!2(!2
!
=
−n
n
;
160
2
)1(
=
−nn
;
0320
2
=−− nn ;
4,17
2
128011
1
−≈
+−
=n
;
4,18
2
128011
2
≈
++
=n
.
Число команд должно быть натуральным числом, поэтому n = 18.
Ответ. 18 команд.
Задача. Сколькими способами можно упорядочить множество
{1, 2, …, 2n} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
Решение. Четные числа (их n штук) можно расставить на местах с четными номерами (таких мест n
штук) n! способами. Каждому способу расположения четных чисел на местах с четными номерами со-

Страницы