Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Взять любую из 5 книг по математике можно 5 способами, книгу по физике – 4 способами, книгу по
химии – 6 способами. Выбор одной книги не влияет на выбор другой книги. Значит, по правилу суммы
учебник с полки можно выбрать 5 + 4 + 6 = 15 способами.
Правило произведения. Если элемент a из конечного множества можно выбрать m способами и по-
сле любого из этих выборов элемент b может быть выбран n способами, то выбор «a и b» может быть
осуществлен m ⋅ n способами.
Правило произведения можно распространить на выбор любого конечного числа элементов.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5, если цифры в числе не по-
вторяются?
На месте сотен поставим любую из трех цифр. Это можно сделать тремя способами. После каждого
такого выбора на месте десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр (т.е. двумя спосо-
бами), так как цифры в числе не повторяются. Наконец, на месте единиц можно поставить оставшуюся
одну цифру (т.е. одним способом). Применяя правило произведения два раза получим: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 спо-
собов, и соответственно, шесть трехзначных чисел.
Графической иллюстрацией правила произведения является специальная схема, условно называе-
мая «дерево». Для рассмотренного примера соответствующая схема будет выглядеть так:
Сотни Десятки Единицы Искомое
число
4 5 245
5 4 254
2 5 425
5 2 452
2 4 524
4 2 542
Рассмотрим пример на применение этих двух правил.
Пример. Сколько различных «слов» (т.е. последовательностей букв), состоящих не менее чем из
пяти различных букв, можно образовать из букв слова «рисунок»?
Слово «рисунок» состоит из семи различных букв. Применяя правило произведения соответствую-
щее число раз, можно подсчитать, что существует: N
1
= 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 2520 «слов» из пяти букв (выби-
раемых из букв слова «рисунок»), N
2
= 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 5040 «слов» из шести букв,
N
3
= 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040 «слов» из семи букв. Тогда по правилу суммы, существует N = N
1
+ N
2
+
N
3
= 2520 + 5040 + 5040 = 12 600 «слов», состоящих не менее чем из пяти букв слова «рисунок».
3.2 Виды комбинаций
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Обозначим символом: n! (читается «эн факториал») – число, равное произведению всех натураль-
ных чисел от 1 до n. Например:
1! = 1;
2! = 1 ⋅ 2 = 2;
3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6;
4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24;
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120;
... .
Положим по определению
11
: 0! = 1.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
11
Это определение связано с желанием распространить основное свойство факториала n! = (n – 1)! ⋅ n на целые числа n ≥ 1: 1 = 1! = (1
– 1)! ⋅ 1 = 0! ⋅ 1 ⇒ 0! = 1.
2
4
5

Страницы