Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим некоторое множество, состоящее из n различных элементов. Если в множестве введено
отношение порядка, т.е. определено какой элемент множества за каким следует или какому предшест-
вует, то множество называется упорядоченным.
Пример. Пусть даны три буквы: A, B, C. Составим все возможные упорядоченные множества из
этих букв:
ABC BCA CBA АCB BAC CAB.
Этих множеств получилось 6 штук и они отличаются только порядком расположения букв.
Определение. Упорядоченные множества из n элементов называются перестановками из n элемен-
тов.
Таким образом, перестановки из n элементов отличаются только порядком следования элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается: Р
n
. В предыдущем примере мы выяснили, что Р
3
= 6
Пример. Пусть даны те же буквы: A, B, C. Составим упорядоченные подмножества, состоящие из
двух букв:
AB АC ВС
BA CА СB.
Все полученные подмножества отличаются или буквами, или порядком букв (т.е. AB и BA считают-
ся разными подмножествами). Этих подмножеств 6 штук.
Определение. Упорядоченные подмножества из n элементов по k элементов каждое, называются
размещениями из n элементов по k элементов (или кратко: размещениями из n по k).
Таким образом, размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число раз-
мещений из n по k обозначается:
k
n
А
. В предыдущем примере мы выяснили, что
6
2
3
=A
.
Пример. Пусть даны три буквы: А, B, C. Составим подмножества из двух элементов:
AB AC
BC.
Изменение порядка букв внутри этих подмножеств не приводит к новому подмножеству. Этих под-
множеств получилось 3 штуки.
Определение. Подмножества из n элементов по k элементов каждое, отличающиеся хотя бы одним
элементом, называются сочетаниями из n элементов по k элементов (или кратко: сочетания из n по k).
Таким образом, сочетания отличаются только составом элементов. Число сочетаний из n по k обо-
значается:
k
n
С . В предыдущем примере мы выяснили, что: 3
2
3
=С .
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Теорема. Число размещений из n элементов по k элементов подсчитывается по формуле:
)1(...)2()1( +−⋅⋅−⋅−⋅= knnnnA
k
n
.
Доказательство. Подсчитаем число размещений из n по k.
1 Пусть k = 1. Выбрать один элемент из n можно, очевидно, n способами. Поэтому 1
1
=
n
A , что сов-
падает с доказываемой формулой.
2 Пусть k = 2. Здесь необходимо вспомнить правило произведения. Любой первый элемент из
множества n элементов можно выбрать n способами, любой второй элемент из оставшихся n – 1 эле-
ментов можно выбрать n – 1 способом. Тогда по правилу произведения любые первые два элемента
можно выбрать n (n – 1) способами т.е.
)1(
2
−= nnA
n
, что тоже совпадает с доказываемой формулой.
Рассуждая аналогично, получим, что
)2)(1(
3
−−= nnnA
n
; )3)(2)(1(
4
−−−= nnnnA
n
; …
Окончательно получим: )1(...)2)(1( +−−−= knnnnA
k
n
.
Теорема доказана.

Страницы