Численные методы. Путин С.Б - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Выполнение лабораторных работ по изучению численных методов предусматривается учебными планами следующих
дисциплин: «Информатика и программирование», «Численные методы», «Моделирование систем». Лабораторные работы
выполняются с целью приобретения практических навыков и закрепления теоретических знаний по указанным
дисциплинам.
Лабораторные работы выполняются на ЭВМ с использованием языка программирования С. Для этого учебная группа
разбивается на подгруппы по 3 – 5 человек.
При подготовке к выполнению каждой работы студент должен:
• изучить соответствующие разделы литературы, указанной в учебном плане;
• ознакомиться с описанием лабораторной работы;
• подготовить таблицы для записи результатов.
Проверка подготовки к выполнению очередной лабораторной работы осуществляется преподавателем при личном
опросе. Если студент не знает содержания и методики проведения предстоящей работы, то он не допускается к её
выполнению.
При выполнении лабораторной работы студент заполняет таблицы экспериментальных данных, производит
необходимые расчёты, строит графики и подготавливает отчёт о работе. Отчёт выполняется по каждой работе отдельно.
Студент защищает отчёт после выполнения работы.
Лабораторная работа 1
ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: приобретение навыков решения уравнений численными методами.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Задача решения уравнения чаще всего встречается при изучении общетехнических и специальных дисциплин, в
инженерной практике. Отыскать точное значение корня уравнения можно лишь в некоторых частных случаях. Кроме того,
точное значение корня часто всё равно приходится заменить приближённым (например, при решении уравнения
13
=
x ).
Поэтому при решении уравнения широко используются методы, позволяющие получать приближённое решение с любой
заданной степенью точности.
Пусть задано уравнение
0)(
=
xf , где функция )(xf определена и непрерывна на некотором отрезке
[
]
ba, и имеет на
нём непрерывную первую и вторую производные
)(xf
′
и )(xf
′
′
. Корни заданного уравнения являются нулями функции
)(xfy = и геометрически представляют собой точки пересечения графика функции )(xfy
=
с осью OX (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Решение задачи отыскания действительных корней заданного уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение (изоляция) корня, т.е. отыскание отрезка
[
]
ba, , принадлежащего области определения функции )(xf , на
котором имеется один и только один корень уравнения
0)(
=
xf .
2. Вычисление или уточнение корня с заданной точностью.
Отделение корня уравнения основано на двух очевидных фактах:
1) На концах отрезка
[]
ba, функция имеет разные знаки, т.е.
)(af )(bf
< 0. Очевидно, что при этом внутри отрезка
[]
ba, имеется, по крайней мере, один корень уравнения 0)(
=
xf . Однако это условие не гарантирует существования
единственного корня.
Например, на рис. 1.1
)(af > 0, )(bf < 0 т.е. )(af )(bf < 0, а внутри
[
]
ba, имеется три корня.
2) На отрезке
[]
ba, функция )(xf монотонна, т.е. её производная )(xf
′
не меняет знака на
[]
ba, . Графически это
обозначает, что
)(xf либо возрастающая, либо убывающая.
Отделение корня можно производить аналитически или графически.
Графически корни уравнения
0)( =xf можно отделить, построив график функции )(xfy = и приблизительно
определив точки его пересечения с осью
OX .
Аналитический метод отделения корня состоит в том, что вначале определяются интервалы монотонности функции
)(xf , т.е. интервалы, в которых 0)( =
′
xf (путём решения уравнения 0)(
=
′
xf ), а затем вычисляют значения )(xf на
концах этих интервалов и определяют интервал, на концах которого значения
)(xf имеют разные знаки. В результате может
Y
О
а b
Х

Страницы