Численные методы. Путин С.Б - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

получиться так, что искомого интервала не найдётся. Это означает, что ли- бо уравнение 0)( =xf не имеет корня, либо
корни являются граница- ми интервалов монотонности, т.е. точками, в которых
0)(
=
′
xf (кратные корни).
Собственно говоря, любую точку с интервала, отделяющего корень
[
]
baс ,
∈
, можно считать приблизительным
значением корня, поскольку ясно, что разность между истинным значением корня
*
x и его приближённым значением с
ограничена величиной отрезка
ab − , т.е.
cx −
*
< ab
−
. Если требуется более точное определение корня, то необходимо
изменить границы интервала
[]
ba, таким образом, чтобы новый интервал был меньше исходного и удовлетворял
приведённым выше условиям существование корня.
Для получения такого нового интервала используются различные методы последовательных приближений,
позволяющие за несколько этапов сжатия исходного отрезка (итераций) получить интервал, длиной которого можно
пренебречь.
Метод хорд. Идея метода состоит в том, что на отрезке
[
]
ba, строится хорда
A
B , стягивающая концы дуги
графика функции
)(xfy =
, и в качестве приближённого значения корня выбирается число с, являющееся абсциссой точки
пересечения хорды АВ с осью ОХ (рис. 1.2).
Y
B
a
О c b X
A
Рис. 1.2
Для определения числа с составим уравнение хорды как прямой, проходящей через две точки
(
)
)(, afaA
=
,
()
)(, bfbB = :
)()(
)(
afbf
afy
ab
ax
−
−
=
−
−
.
Положив
0=y ,
c
x
=
, получим
))(
)(
fabf
af
ab
ac
−
=
−
−
.
После преобразований имеем две формулы:
)()(
)()(
afbf
abaf
ac
−
−
−=
;
)()(
)()(
afbf
abbf
bc
−
−
−=
.
Число с принимаем за первое приближение к искомому корню и обозначаем
1
x , cx
=
1
. Очевидно, что, если )(xf
′
не
имеет знак на
[]
ba, , точка
1
x будет находиться со стороны вогнутости кривой )(xfy
=
и разделит
[]
ba, на два отрезка
[]
1
, xa и
[]
bx ,
1
, в одном из которых находится искомый корень. Новый отрезок, отделяющий корень, можно определить,
сравнивая знаки
)(af , )(bf , )(
1
xf . Из анализа рис. 1.3, на котором представлены все возможные варианты поведения
функции
)(xf , видно, что, если )()( xfxf
′′
′
> 0 (рис. 1.3, а, в), отрезком, отделяющим корень, будет
[]
bx ,
1
, в противном
случае, т.е. при
)()( xfxf
′′′
< 0 (рис. 1.3, б, г), отрезком, отделяющим корень, будет
[
]
1
, xa .
Повторяя такую же процедуру на новом отрезке, определим число х
2
:
• при )()( xfxf
′′′
> 0

Страницы