Численные методы. Путин С.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Y Y
A
B
a x
1
b
О О
b X a x
1
B X
A
а) б)
Y Y
A
B
x
1
b a
О a X О x
1
b X
B A
в) г)
Рис. 1.3
)()(
))((
1
11
12
xfbf
xbxf
xx
−
−
−=
;
•
при )()( xfxf
′′′
< 0
)()(
))((
1
11
12
afxf
axxf
xx
−
−
−=
.
Затем аналогично находим х
3
, х
4
и т.д. по итерационной формуле:
•
при )()( xfxf
′′′
> 0
)()(
)()(
1
i
ii
ii
xfbf
xbxf
xx
−
−
−=
+
;
•
при )()( xfxf
′′′
< 0
)()(
)()(
1
afxf
axxf
xx
i
ii
ii
−
−
−=
+
.
Процесс прекращаем тогда, когда оценка полученного приближения x
i
удовлетворяет заданной точности. Для
упрощения вычисления обычно задают некоторое, достаточно малое число,
0>
ε
и прекращают вычисления, когда разность
между двумя последними приближениями становится меньше
ε
, т.е. ε<−
− ii
xx
1
. Число x
i
принимают за приближённое
значение корня уравнения
0)( =xf .
Метод касательных (Ньютона). Суть метода состоит в том, что на одном из концов дуги АВ графика функции
)(xfy = проводится касательная к этой дуге и в качестве приближённого значения х выбирается число с, являющееся
абсциссой точки пересечения этой касательной с осью АХ (рис. 1.4).
Y
B
O
c b X
A
Рис. 1.4
Как известно, уравнение касательной к кривой )(xfy
=
в точке
(
)
)(, tft имеет вид ))(()( txtftfy −
′
=
−
.
Следовательно, уравнения касательных в точках А и В имеют вид
))(()( axafafy
−
′
=
−
, ))(()( bxbfbfy
−
′
=−
.
Положив
0=y
и c
x
= , определим абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ:
)('
)(
af
af
ac −=
или
)(
)(
bf
bf
bc
′
−=
.
Точка с будет первым приближением к корню, поэтому обозначим её х
1
. Очевидно, что точка
()
0,
1
x будет находиться
со стороны выпуклости кривой
)(xfy
=
. Точка х
1
разделит отрезок
[
]
ba, на два отрезка
[]
1
, xa и
[]
bx ,
1
, один из которых
содержит корень. Если
0)()( >
′′′
xfxf , это будет отрезок
[
]
1
, xa , т.е. касательная проводится к точке В, а при 0)()(
<
′
′
′
xfxf

Страницы