Численные методы. Путин С.Б - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

получим отрезок ],[
1
bx , т.е. касательная проводится к точке А. Определив новый отрезок, повторим процедуру, причём
касательную проведем в точке
()
)(,
11
xfx и получаем новую точку х
2
:
)(/)(
1112
xfxfxx
′
−
=
.
Далее находим второе, третье и последующие приближения по итерационной формуле
)(/)(
11 iii
xfxfxx
′
−
=
+
.
Процесс прекращается тогда, когда разность между двумя последними приближениями будет меньше заданного числа
0>ε , т.е. ε<−
+ ii
xx
1
.
Метод секущих. В методе касательных для нахождения каждого нового приближения корня необходимо
вычислять не только значения функции
)(xf , но и её производную )(xf
′
, что не всегда возможно, поскольку функция )(xf
не обязательно должна быть задана в виде аналитического выражения. Например,
)(xf может быть получена в результате
решения какого-то дифференциального уравнения, или системы уравнений. Для преодоления этого препятствия можно
заменить значения производной в методе касательных отношением конечных разностей в окрестности рассматриваемой
точки, т.е. использовать приближённое равенство
h
hxfxf
hxx
hxfxf
dx
xdf
)()(
)(
)()()(
+
−
=
+−
+
−
= ,
где h – некоторая малая величина.
Геометрически это означает, что через рассматриваемую точку будет проводиться не касательная, а секущая (рис. 1.5).
Y
B
О x
*
x x + h X
A
Рис. 1.5
Поэтому данный метод называется методом секущих. Итерационная формула будет аналогична методу касательных:
)()(
)(
1
hxfxf
hxf
xx
ii
i
ii
−−
−=
+
.
При использовании этого метода следует уменьшать величину h по мере приближения к корню.
Метод простых итераций. Рассмотрим уравнение
)(xgx
=
. Это уравнение может быть получено из
уравнения
0)( =xf путём прибавления к обоим членам х и заменой )()( xfxxg
+
=
, т.е. корень уравнения )(xgx
=
совпадает с корнем уравнения
0)(
=
xf
.
Пусть
[]
ba, – отрезок, отделяющий корень
*
x , т.е. )(
**
xgx = . Выберем произвольную точку
[]
bax ,
0
∈ и вычислим
значение
)(xg в этой точке:
)(
01
xgx
=
.
По найденному значению х
1
построим вторую точку х
1
и т.д. по формуле
)(
1 ii
xgx
=
+
.
Если полученная таким образом последовательность
i
x сходится, то она сходится к корню
*
x , т.е.
*
lim
xx
i
i
=
∞→
, и за
конечное число итераций можно получить приближённое значение корня
*
x с заданной точностью ε , т.е. ε<−
i
xx
*
.
Однако описанный итерационный процесс не всегда сходится.
Рассмотрим геометрический смысл процесса и его сходимость. Корень уравнения
)(xgx = – это точка пересечения
прямой
x
y = и графика функции )(xgy = (рис. 1.6). Абсцисса
1
x получена пересечением прямых )(
0
xgy
=
и
x
y
=
.
Абсцисса
2
x получается пересечением прямых )(
1
xgy = и
x
y
=
и т.д.
На рис. 1.6, а видно, что последовательность
i
x сходится к
*
x , а на рис. 1.6, б – расходится. Сходимость процесса
зависит от угла наклона линии
)(xgy =
, т.е. от значения )(xg
′
. Если 1)( <
′
xg ,
[]
bax ,
∈
, то процесс сходится, при
1)( >
′
xg ,
[]
bax ,∈ процесс расходится и при 1)( =
′
xg ,
[
]
bax ,
∈
процесс может как сходиться, так и расходиться.

Страницы