Численные методы. Путин С.Б - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6. В чём отличие методов касательной и секущей и что у них общего?
Литература: [1; c. 451 – 473]; [3; c. 112 – 157]; [5; c. 170 – 210]; [6; c. 86 – 116].
Лабораторная работа 2
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Цель работы: получение навыков использования методов интерполирования функции.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Задача интерполирования ставится в следующей форме: найти многочлен )()( xPxP
n
=
степени не выше n , значения
которого в заданных точках
i
x , nl ,0= совпадают с заданными значениями данной функции )()(
iin
xyxP = , ni ,0= .
Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида
nn
nn
axaxaxaxP ++++=
−
−
1
1
10
...)( ,
проходящую через заданную систему точек
),(
ii
yx ,
ni ,0=
(рис. 2.1).
Y
)(xPy =
)(xfy =
О x
0
x
1
x
2
x
n
X
Рис. 2.1
Многочлен )(xP называется интерполяционным многочленом, а точки
i
x , ni ,0= – узлами интерполяции.
Интерполяционные многочлены обычно используются для нахождения неизвестных значений
)(xf при промежуточных
значениях аргумента. При этом различают задачу интерполирования, когда х находится между
0
x и
n
x , и
экстраполирования, когда х находится вне отрезка
[
]
n
xx ,
0
.
Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если
)1,0(const
1
−
=
=
=
∆
=
−
+
nihxxx
iii
. Конечными разностями
функции
)(xfy =
называются разности вида:
iii
yyy −=∆
+1
– разность первого порядка;
iii
yyy ∆−∆=∆
+1
– разность второго порядка;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
k
i
k
i
к
yyy
3
1
21 −
+
−−
∆−∆=∆ – разность k – 1-го порядка;
i
k
i
k
i
k
yyy
1
1
1 −
+
−
∆−∆=∆ – разность k-го порядка.
Таблица 2.1
x y
y∆
y
2
∆ y
3
∆ y
4
∆ y
5
∆
x
0
y
0
0
y∆
0
2
y∆
0
3
y∆
0
4
y∆
0
5
y∆
x
1
y
1
1
y∆
1
2
y∆
1
3
y∆
1
4
y∆
x
2
y
2
2
y∆
2
2
y∆
2
3
y∆
x
3
y
3
3
y∆
3
2
y∆
x
4
y
4
4
y∆
x
5
y
5
В таблице 2.1 приведены конечные разности до k = 5.
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
...
!3
)2()1(
!2
)1(
)()(
0
3
0
2
00
+∆
−
−
+∆
−
+∆+== y
qqq
y
qq
yqyxPxy
n
)(
!
)1(...)1(
...
0
xRy
n
nqqq
n
n
+∆
−−−
+ ,
где
hxxq /)(
0
−= .
В этой формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы разностей. Остаточный член
)(xR этой формулы
имеет вид

Страницы