Численные методы. Путин С.Б - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)(
)!1(
)(...)1(
)(
)1(1
sf
n
nqqq
hxR
nn
n
++
+
−
−
=
,
где
s
– некоторая точка промежутка, содержащего все узлы интерполирования
x
и точку
i
x .
Первая формула Ньютона используется для интерполирования и экстраполирования в точках х, близких к начальной
точке таблицы
0
x .
Для точек х, близких к конечной точке таблицы
n
x , используют вторую интерполяционную формулу Ньютона:
...
!3
)2()1(
!2
)1(
)()(
3
3
2
2
1
+∆
+
+
+∆
+
+∆+==
−−− nnnnn
y
qqq
y
qq
yqyxPxy
)(
!
)1(...)2()1(
...
0
xRy
n
nqqqq
n
n
+∆
−
+++
+
,
где
hxxq
n
/)( −= .
Остаточный член этой формулы
)(
)!1(
)(...)2()1(
)(
)1(1
sf
n
nqqqq
hxR
nn
n
++
+
+
+
+
= .
Во второй формуле Ньютона используется нижняя наклонная строка конечных разностей (см. табл. 2.1).
Для неравноотстоящих узлов интерполирования
hxx
ii
≠
−
+1
используется интерполяционная формула Лагранжа
∑
≠
+−
+−
−−−−−
−−−−−
==
n
i
niiiiiii
nii
in
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
yxLxy
0
1110
1110
)(...)()(...)()(
)(...)()(...)()(
)()(
с остаточным членом
)(...))((
)!1(
)(
)(
10
1
n
n
xxxxxx
n
sf
xR −−−
+
=
+
.
Выражения
)(...)()(...)()(
)(...)()(...)()(
)(
1110
1110
)(
niiiiiii
nii
n
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−
−
−
−
−
=
+−
+−
называются коэффициентами Лагранжа.
Иногда бывает полезным для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа
относительно линейной подстановки: если
batx += , batx
jj
+
=
, ),0( nj = , то )()( tLxL
n
i
n
i
= .
В случае равноотстоящих узлов имеются таблицы лагранжевых коэффициентов.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с методами интерполирования функции.
2.
Ознакомиться с инструкцией к ПДП.
3.
Ознакомиться с методом использования ПДП для нахождения интерполяционных многочленов на
демонстрационных примерах.
4.
Для заданной таблично функции построить все возможные интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа
максимальной степени, пригодные для определения значения функции в указанных промежуточных точках
Ti
x . Варианты
задания выбрать из табл. 2.2. Для всех вариантов
,0
0
=
x 4/
1
bx
=
, 2/
2
bx
=
, bx 75,0
3
=
, bx =
4
, 8/bxx
iTi
+= .
5.
Вычислить значения функции в указанных промежуточных точках, используя найденные многочлены. Сравнить
значения, полученные по разным интерполяционным формулам.
Таблица 2.2
№ варианта
b y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
1 4,4 –14,6 1,1 0,7 13,5 5,6
2 4,8 8,6 –12,2 –2,8 2,7 –5,3
3 5,2 –9,0 9,1 –0,2 –10,4 –12,1
4 5,6 4,3 –1,3 4,7 0,2 –13,6
5 6,0 –3,6 12,1 4,9 7,9 –7,4
6 6,4 4,6 0,2 –6,5 11,4 –7,9
7 6,8 –9,5 –1,4 –9,0 –1,0 –13,6
8 7,2 –11,8 11,9 –12,6 –2,6 7,4
9 7,6 –1,1 4,8 5,4 2,3 14,8
10 8,0 –7,9 5,4 12,3 –10,9 –2,7

Страницы