Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений 133
изостатой. Поэтому выбор тех или иных направлений на слое ξ
3
= const в
качестве координатных диктуется прежде всего тем, чтобы в результате по-
лучалась бы такая локальная система трех ориентаций, для которой был
бы осуществим подбор криволинейных координат с локальным базисом,
ориентированным точно так же.
101
Триортогональная изостатическая криволинейная координатная сетка
(т.е. сетка, координатные линии которой касаются трех взаимно ортого-
нальных главных осей тензора напряжений) даже для расслоенного поля
напряжений существует далеко не всегда. Ниже, в разделе 8, будут приве-
дены условия, обеспечивающие возможность введения триортогональной
изостатической системы координат. Если ортогональные изостатические
координаты все же можно ввести, то поле напряжений необходимо является
расслоенным. Обратное утверждение, конечно же, не является справедли-
вым.
Дополнительно заметим, что поверхности ξ
1
= const и ξ
2
= const —
характеристические для уравнения (1.2.5).
При таком выборе криволинейных координат имеем: g
13
=0, g
23
=0,
n
1
=0, n
2
=0, что позволяет существенно упростить уравнения (5.2):
∂Σ
∂ξ
1
−
1
2
(n
3
)
2
∂g
33
∂ξ
1
=0,
∂Σ
∂ξ
2
−
1
2
(n
3
)
2
∂g
33
∂ξ
2
=0,
∂Σ
∂ξ
3
+ g
33
∂(n
3
)
2
∂ξ
3
+
1
2
g
33
(n
3
)
2
∂
∂ξ
3
ln (g
33
g)=0.
Так как (n
3
)
2
=1/g
33
, то последние уравнения эквивалентны следую-
щим:
∂
∂ξ
1
(Σ − ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
2
(Σ − ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
3
(Σ − ln
√
g
33
+ln
√
g)=0.
(5.3)
Уравнения (5.3) интегрируются вдоль линий главных напряжений. Ин-
вариант I
1
=Σ−ln
√
g
33
сохраняет свое значение на каждом из слоев поля
n. Инвариант I
2
=Σ−ln
√
g
33
+ln
√
g не изменяется вдоль векторной линии
101
Существование триортогональной изостатической координатной сетки в случае пространственного
пластического состояния на ребре призмы КулонаТреска связано с дополнительным ограничением
на реализуемость такого состояния (подразумевается дополнительное ограничение на поле n, точнее
на ортогональные ему поверхности, в виде уравнения КэлиДарбу (см. уравнение (8.1.2)), которому
должна удовлетворять функция, задающая слои поля n как поверхности уровня). Координатная си
стема ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
ортогональна лишь на 2/3 (поэтому указанные координаты мы иногда будем называть
2/3-ортогональными изостатическими координатами) и ее введение никак не связано с каким-либо
дополнительным ограничением на геометрию векторного поля n помимо условия его расслоенности.
Ю.Н. Радаев

Страницы