Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5.
Интегралы уравнений равновесия для
расслоенного поля напряжений
Векторное уравнение (1.2.5) имеет инвариантную форму. Преобразуем
его к криволинейным координатам ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
. Ковариантные компоненты
поля div(n ⊗ n) равны (см., например, [33], с. 208; [34], с. 45):
(div(n ⊗ n))
l
=
1
√
g
g
kl
∂(
√
gn
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l](l =1, 2, 3), (5.1)
где g
ij
— компоненты метрического тензора, g =det||g
ij
||— метрический де-
терминант (определитель, составленный из ковариантных компонент g
ij
),
[rs, l] — символы Кристоффеля первого рода. Через n
m
обозначены контра-
вариантные компоненты векторного поля n.
Используя формулу (5.1), представим уравнение (1.2.5) в ковариантной
форме:
∂Σ
∂ξ
l
+
1
√
g
g
kl
∂
∂ξ
m
(
√
gn
k
n
m
)+n
r
n
s
[rs, l]=0. (5.2)
Воспользуемся расслоенностью векторного поля n и выберем криволи-
нейные координаты ξ
m
специальным образом: координатные поверхности
ξ
3
= const есть слои поля n, а поверхности ξ
1
= const и ξ
2
= const —
интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из инте-
гральных кривых векторного поля n). Строго регламентированным, таким
образом, является лишь выбор координатных поверхностей ξ
3
= const.
Остальные координатные поверхности могут быть выбраны с известной
долей произвола. Здесь необходимо отметить, что возможность до извест-
ной степени произвольно выбирать координатные поверхности ξ
1
= const
и ξ
2
= const позволяет констатировать, что криволинейная сетка ξ
1
, ξ
2
,
ξ
3
, вообще говоря, отличается от триортогональной изостатической сетки.
Напомним, что изостатой (или линией главного напряжения) называется
кривая, касательная к которой направлена вдоль главной оси тензора на-
пряжений. Однако все три координатные линии системы координат ξ
1
, ξ
2
,
ξ
3
являются изостатами, правда, координатные линии, соответствующие
координатам ξ
1
, ξ
2
, могут не быть ортогональными друг другу. Это обу-
словлено тем, что в силу σ
1
= σ
2
любое направление на слое ξ
3
= const
является главным и, следовательно, любая траектория на этом слое будет
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы