Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

134 Глава 5. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений
поля n. Таким образом, если напряженное состояние соответствует ребру
призмы Треска, то поле главных направлений, определяющих ориентацию
n, необходимо является расслоенным и, следовательно, в новых специаль
ным образом подобранных координатах уравнения равновесия приводятся
к трем интегрируемым соотношениям (5.3).
Отметим, что пространственная задача для жесткопластической среды
с критерием текучести Мизеса исследовалась [35] в координатной сетке
линий главных напряжений. Осесимметричная жесткопластическая задача
также анализировалась при помощи криволинейной сетки линий главных
напряжений в [36], [37].
Инварианты пространственных уравнений теории пластичности были
получены в работе [22]. В этой же работе была установлена связь между
преобразованием области пластического течения с помощью 2/3-ортого-
нальных изостатических криволинейных координат ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
и канониче
скими преобразованиями, изучавшимися в свое время Пуанкаре (H. Poincare)
[38], [39](см.также[31], [40]). Канонические преобразования можно эффек
тивно анализировать с помощью производящих функций. Как было пока
зано в [41], [22], уравнения для производящих функций, которые подлежат
определению в плоских и осесимметричных задачах теории пластичности,
обладают важными свойствами инвариантности относительно преобразо
ваний Лежандра и Ампера.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости системы (5.3)со
стоит, как нетрудно заметить, в возможности разложения метрического
детерминанта g в произведение двух положительных функций:
g = G
1
(ξ
3
)G
2
(ξ
1
,ξ
2
). (5.4)
Уравнение (5.4) является одновременно и общим интегралом уравнений
(4.18): если задаться криволинейными координатами ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
так, чтобы
g
13
=0и g
23
=0и выполнялось (5.4), то векторное поле
n =
∇ξ
3
|∇ξ
3
|
будет тождественно удовлетворять уравнениям (4.18).
В качестве примеров расслоенного поля напряжений можно привести
осесимметричную задачу и задачу о плоской деформации. Действительно,
любое осесимметричное, или плоское, векторное поле является расслоен
ным. Если ввести цилиндрические координаты r, ϕ, z, то слоями осесим
метричного поля n будут поверхности, образованные вращением вокруг
оси симметрии ортогональных полю n траекторий, расположенных в плос
кости ϕ =0. Слоями плоского векторного поля являются цилиндрические
поверхности над ортогональными линиями поля n .
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы