Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6.
Классы пространственных задач с
расслоенными полями напряжений
Выше было показано, что напряженные состояния, соответствующие
ребру призмы Треска, необходимо имеют расслоенные поля главных на-
правлений напряжений, которые отвечают наибольшим (или наименьшим)
главным напряжениям. Ниже указываются достаточные признаки того,
что расслоенное поле напряжений, соответствующее ребру призмы Треска,
действительно может реализоваться в том или ином состоянии равновесия
твердого тела.
Рассмотрим тело Ω, часть границы A которого свободна, или на нее
действует нормальная поверхностная нагрузка p(x).
В этом случае, как известно, ”физическая задача Коши”, если ограни-
читься только напряженными состояниями, соответствующими ребру приз-
мы Треска,
102
приводится к двум математическим задачам Коши с началь-
ными данными на поверхности A (ν — единичный вектор нормали к по-
верхности A): 1) n = ν, Σ=p/(±2k) на поверхности A;2)n · ν =0,
Σ=1+p/(±2k) на поверхности A. Здесь p — модуль вектора p,т.е.p(x)=
±p(x)ν.
Рассмотрим первую из указанных задач
103
и покажем, что она разреши-
ма, что и будет означать, что поле напряжений, примыкающее к поверхно-
сти A, соответствует ребру призмы Треска и является расслоенным неза-
висимо от характера распределения нормальной поверхностной нагрузки
p = p(x). Однако прежде выделим еще один класс задач пространствен-
ного равновесия с соответствующими ребру призмы Треска расслоенными
102
Что представляется естественным, так как в этом случае имеется меньше всего кинематических
ограничений.
103
Вторая из математических задач Коши (если бы вектор n однозначно определялся на граничной
поверхности) ставилась бы, как это следует из условия n · ν =0, на характеристической поверхно-
сти и, следовательно, ее формулировка была бы некорректной: решения такой задачи либо вообще
бы не существовало, либо если бы решение существовало, то оно было бы заведомо неединственным.
Однако физическое краевое условие не определяет однозначно вектор n, устанавливая лишь только
то, что вектор n ориентирован произвольно в касательной к граничной поверхности плоскости. Подоб-
ная неопределенность ориентации вектора n на граничной поверхности часто позволяет использовать
начальное условие именно второго типа при решении краевых задач математической теории пластич-
ности. Подробное исследование этой ситуации имеется в [11], с. 242, 243. (см. также раздел 1.9 данной
книги). Однако даже в этом случае, если удается построить поле напряжений, соответствующее ребру
призмы Треска, то, как следует из результатов главы 1, поле напряжений необходимо будет расслоен-
ным, правда, сама граничная поверхность уже не будет слоем поля n.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы