Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

138 Глава 6. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений
На множестве расслоенных полей n уравнение (1.2.5) в специальных
криволинейных координатах ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
эквивалентно уравнениям (5.3). Пер
вые два уравнения системы (5.3) и начальные условия для функции Σ дают
возможности найти компоненту g
33
на поверхности A (C постоянная)
g
33
|
A
= Ce
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. (6.2)
Пусть начальному слою A векторного поля n соответствует значение
ξ
3
=0. Этого всегда можно добиться преобразованием трансляции коорди
наты ξ
3
, относительно которого система уравнений (5.3) инвариантна. Так
как g|
A
= a(ξ
1
,ξ
2
) g
33
|
A
,гдеa(ξ
1
,ξ
2
) детерминант первой квадратичной
формы поверхности A, то, учитывая равенство (6.2), получим:
g|
A
= Ca(ξ
1
,ξ
2
)e
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. (6.3)
2/3-ортогональная координатная система ξ
k
такова, что g разлагается
в виде произведения (5.4). Сравнивая (5.4)и(6.3)приξ
3
=0, получим, что
G
2
(ξ
1
,ξ
2
)=CG
−1
1
(0)a(ξ
1
,ξ
2
)e
2Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)
. Не ограничивая общности, можно
считать, что G
1
(ξ
3
)=C
−1
1
e
2ξ
3
, так как любая замена вида ξ
3
= ξ
3
(ξ
3
) не
изменяет слоев поля n.
Таким образом, положив CG
−1
1
(0) = C
1
, имеем следующее равенство:
g = a(ξ
1
,ξ
2
)e
2(Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
)
. (6.4)
Утверждение будет доказано, если доказать разрешимость следующей
задачи Коши:
∂f
1
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
1
∂ξ
2
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
2
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
2
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
k
∂ξ
3
∂f
k
∂ξ
3
∂f
p
∂ξ
1
∂f
p
∂ξ
1

∂f
r
∂ξ
2
∂f
r
∂ξ
2
−
∂f
s
∂ξ
1
∂f
s
∂ξ
2
2
=
= a(ξ
1
,ξ
2
)e
2(Σ
A
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
)
(6.5)
с аналитическими начальными данными на слое ξ
3
=0:
f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)
ξ
3
=0
= λ
i
(ξ
1
,ξ
2
)(i =1, 2, 3). (6.6)
Тогда координатные поверхности ξ
3
= const 2/3-ортогональной криво
линейной системы координат x
i
= f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)(i =1, 2, 3) можно будет
принять в качестве слоев векторного поля n, причем начальные условия
на поверхности A также будут удовлетворены как для n, так и для Σ.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы