Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений 139
Теорема Коши—Ковалевской
104
приводит к заключению о разрешимо-
стизадачиКоши(6.5), (6.6), если доказать, что система уравнений (6.5)
может быть приведена к нормальному по переменной ξ
3
виду. Для этого
разрешим систему относительно частных производных ∂f
i
/∂ξ
3
(i =1, 2, 3).
Введем следующие обозначения:
∆
1
=
∂f
2
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
2
∂f
3
∂ξ
2
, ∆
2
=
∂f
3
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
2
∂f
1
∂ξ
2
, ∆
3
=
∂f
1
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
2
∂f
2
∂ξ
2
.
Кроме того, обозначим через Z выражение, расположенное в квадрат-
ных скобках (6.5). После ряда алгебраических преобразований получим си-
стему уравнений в частных производных (6.5) в нормальной по переменной
ξ
3
форме
∂f
i
∂ξ
3
= ±a
1/2
Z
−1/2
e
Σ
A
+ξ
3
∆
i
(∆
k
∆
k
)
−1/2
(i =1, 2, 3). (6.7)
Знак в уравнениях (6.7) выберем так, чтобы при возрастании перемен-
ной ξ
3
от нуля в сторону положительных значений точка с координатами
x
i
= f
i
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
) физического пространства двигалась от поверхности A
внутрь тела Ω, если A — часть граничной поверхности тела.
Осталось еще показать, что правые части в (6.7) аналитичны при ξ
3
=0
для всех допустимых значений остальных аргументов
ξ
1
,ξ
2
,
∂f
k
∂ξ
α
.
На начальной плоскости ξ
3
=0имеем следующие равенства (см. (6.1),
(6.3)): ∆
3
|
ξ
3
=0
= W (ξ
1
,ξ
2
),Z|
ξ
3
=0
= a(ξ
1
,ξ
2
). Так как для любой точки
(ξ
1
,ξ
2
) справедливо aW =0, то правые части системы (6.7) будут анали-
тическими функциями аргументов ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ∂f
k
/∂ξ
α
(k =1, 2, 3; α =1, 2)
в окрестности любой точки
ξ
1
= ξ
1
(0)
,ξ
2
= ξ
2
(0)
,ξ
3
=0,
∂f
k
∂ξ
α
=
∂λ
k
∂ξ
α
ξ
1
=ξ
1
(0)
,ξ
2
=ξ
2
(0)
104
Эта классическая теорема устанавливает локальную разрешимость в классе аналитических функ
ций системы уравнений в частных производных, имеющей нормальную форму по той из переменных,
при заданном значении которой формулируются начальные данные при условии, что правые части нор
мальной системы являются аналитическими функциями всех своих аргументов и начальные данные
также аналитичны. Теорема КошиКовалевской имеет весьма общий характер, поскольку она приме
нима к аналитическим системам дифференциальных уравнений в частных производных независимо
от их типа. По поводу доказательства см., например, [42], с. 20-24; [43], с. 30-37; Курант Р. Уравнения
с частными производными. М.: Мир, 1964. С. 50-66.
Ю.Н. Радаев

Страницы