Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6. Классы пространственных задач с расслоенными полями напряжений 137
полями напряжений.
Пусть тело Ω симметрично относительно некоторой плоскости Π ипод-
вергается действию симметричной поверхностной нагрузки так, что мате-
риал, расположенный в плоскости симметрии, переходит в состояние пла-
стического течения. Плоскую область, являющуюся сечением тела Ω плос-
костью Π, обозначим через A. В силу симметрии плоская область A будет
слоем векторного поля n, имеющего ориентацию главного направления.
Предположим, что в сечении тела рассматриваемой плоскостью касатель-
ные напряжения отсутствуют. Если через ν обозначить единичную нор-
маль к A, имеющую направление поля n, а через p(x) — абсолютную вели-
чину вектора напряжений на площадке с нормалью ν, то на поверхности
A, если считать напряженное состояние соответствующим ребру призмы
Треска, имеем следующее условие: n = ν, Σ=p/(±2k). Это условие фор-
мально (фактически, не зная характера распределения p = p(x))можно
принять в качестве краевого и исследовать поле напряжений в простран-
ственных областях, примыкающих к A.
Таким образом, для n и Σ в каждом из рассматриваемых случаев имеем
формально эквивалентные математические задачи Коши: в области, при-
мыкающей к поверхности A, требуется определить единичное векторное
поле n и скалярное поле Σ, удовлетворяющие уравнению (1.2.5) и началь-
ным условиям n = ν, Σ=Σ
A
(x) на поверхности A.
Оказывается, что всегда существуют векторное поле n и скалярное по-
ле Σ, являющиеся решением сформулированной задачи Коши независимо
от характера распределения Σ
A
(x), причем поле n будет расслоенным в
некоторой области, примыкающей к поверхности A. Именно справедливо
следующее утверждение: в некоторой области D, примыкающей к анали-
тической поверхности A, существует единственное аналитическое решение
задачи Коши для уравнения
gradΣ + div(n ⊗ n)=0 (n · n =1)
с аналитическими начальными данными n = ν, Σ=Σ
A
(x) на поверхности
A (ν — вектор единичной нормали к поверхности A), причем векторное
поле n будет расслоенным в области D.
Докажем сформулированное утверждение. Параметризуем поверхность
A при помощи аналитических функций x
i
= λ
i
(ξ
1
,ξ
2
)(i =1, 2, 3). Здесь
ξ
1
, ξ
2
— Гауссовы параметры. По крайней мере один из миноров второго
порядка матрицы ||∂λ
i
/∂ξ
α
|| (i =1, 2, 3; α =1, 2) должен быть отличен от
нуля, иначе параметризуемый объект не будет двумерной поверхностью.
Предположим ради определенности, что
W =det||∂λ
α
/∂ξ
β
|| =0 (α, β =1, 2). (6.1)
Ю.Н. Радаев

Страницы