Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

178
Глава 8. Трехмерные уравнения математической теории пластичности в
триортогональных изостатических координатах
Сами уравнения были опубликованы в 1864 г. Сен-Венаном в издании од
ной книги Навье.
Компоненты тензора несовместности dS в декартовой системе коорди
нат могут быть найдены также в виде
−dS
il
=(∂
j
∂
j
dε
kk
− ∂
j
∂
k
dε
jk
)δ
il
+ ∂
i
∂
k
dε
lk
+ ∂
l
∂
k
dε
ki
−
−∂
j
∂
j
dε
li
− ∂
i
∂
l
dε
kk
.
2. Независимые системы соотношений совместности
Обычно считается, что независимых уравнений совместности должно
быть шесть (т.к. тензор −dS = ∇ × dP симметричен). На самом деле
ситуация несколько сложнее.
130
Действительно, оказывается, что тензор
dS удовлетворяет, как это следует из его определения (8.5.2), уравнению
131
∇ · (dS)=0. (8.5.7)
Следовательно, независимых условий должно быть всего три.
Используя приведенные выше выражения для компонент тензора dS
в декартовой системе координат, прямым подсчетом можно показать, что
векторное уравнение (8.5.7) эквивалентно трем скалярным:
∂
1
(dS
11
)+∂
2
(dS
12
)+∂
3
(dS
31
)=0,
∂
1
(dS
12
)+∂
2
(dS
22
)+∂
3
(dS
23
)=0,
∂
1
(dS
31
)+∂
2
(dS
23
)+∂
3
(dS
33
)=0.
На первый взгляд может показаться, что три независимых условия в де
картовой системе координат могут составить либо три уравнения dS
11
=0,
dS
22
=0, dS
33
=0, либо три уравнения dS
23
=0, dS
31
=0, dS
12
=0. Однако
ни три условия первой группы, ни три условия второй группы по отдельно
сти использовать нельзя (см., например, [52]). Известно [53], что если три
условия первой группы удовлетворяются внутри некоторой поверхностно
односвязной области, а вторая тройка условий на границе этой области,
то все три условия второй группы будут удовлетворяться внутри области.
Аналогичное утверждение будет справедливо, если поменять группы усло
вий местами.
130
Хотя условия совместности деформаций были известны уже Сен-Венану, в настоящее время нет
полной ясности в вопросе о числе независимых условий совместности. В большинстве руководств по
механике сплошных сред четко говорится о шести независимых уравнениях (см., например: Седов
Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. М. Наука, 1976. С. 91).
131
Приводимое ниже уравнение в тензорном анализе традиционно называется тождеством Бианки
(L. Bianchi) (см. по этому поводу Схоутен А.Я. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. С.
146, 147).
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы