Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.5. Уравнения совместности деформаций в приращениях в триортогональной
изостатической системе координат
177
+
1
g
22
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
1
∂(
√
g
22
dε
<23>
)
∂ξ
3
−
∂(
√
g
33
dε
<33>
)
∂ξ
2
+
+
1
√
g
11
√
g
22
∂
√
g
22
∂ξ
1
dε
<12>
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
1
+
dε
<23>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
dε
<22>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
2
+
+
1
g
22
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
33
∂ξ
2
∂(
√
g
11
dε
<21>
)
∂ξ
2
−
∂(
√
g
22
dε
<22>
)
∂ξ
1
+
+
1
√
g
33
√
g
22
∂
√
g
33
∂ξ
2
dε
<31>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
+
dε
<12>
√
g
22
√
g
11
∂
√
g
11
∂ξ
2
+
dε
<11>
√
g
22
√
g
11
∂
√
g
22
∂ξ
1
+
+
1
g
22
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
∂(
√
g
11
dε
<31>
)
∂ξ
2
−
∂(
√
g
22
dε
<32>
)
∂ξ
1
+
+
1
√
g
33
√
g
22
∂
√
g
22
∂ξ
3
dε
<12>
√
g
11
√
g
33
∂
√
g
11
∂ξ
3
−
dε
<21>
√
g
22
√
g
33
∂
√
g
22
∂ξ
3
,
причем компоненты dS
<22>
, dS
<33>
получаются циклической перестановкой индексов
в выражении для dS
<11>
, а компоненты dS
<23>
, dS
<31>
— в выражении для dS
<12>
;
dε
<ij>
— физические компоненты тензора приращений деформаций. Ясно, что ни dS
<ij>
,
ни dε
<ij>
не являются действительными приращениями.
Заметим также, что приведенные выше формулы для физических компонент dS
<jl>
тензора несовместности dS справедливы в любой триортогональной координатной си-
стеме, хотя в дальнейшем нас будет интересовать лишь изостатическая координатная
сетка.
В декартовой системе координат компоненты тензора несовместности
dS вычисляются по следующим формулам:
dS
lp
= e
nrl
e
mkp
∂
n
∂
k
dε
rm
,
где e
nrl
кососимметричные символы, или
− dS
33
=
∂
2
dε
11
∂x
2
2
+
∂
2
dε
22
∂x
2
1
− 2
∂
2
dε
12
∂x
1
∂x
2
,
− dS
11
=
∂
2
dε
22
∂x
2
3
+
∂
2
dε
33
∂x
2
2
− 2
∂
2
dε
23
∂x
2
∂x
3
,
− dS
22
=
∂
2
dε
33
∂x
2
1
+
∂
2
dε
11
∂x
2
3
− 2
∂
2
dε
31
∂x
3
∂x
1
,
− dS
23
= −
∂
2
dε
11
∂x
2
∂x
3
+
∂
∂x
1
−
∂dε
23
∂x
1
+
∂dε
31
∂x
2
+
∂dε
12
∂x
3
,
− dS
31
= −
∂
2
dε
22
∂x
3
∂x
1
+
∂
∂x
2
∂dε
23
∂x
1
−
∂dε
31
∂x
2
+
∂dε
12
∂x
3
,
− dS
12
= −
∂
2
dε
33
∂x
1
∂x
2
+
∂
∂x
3
∂dε
23
∂x
1
+
∂dε
31
∂x
2
−
∂dε
12
∂x
3
.
Это известные формулы Сен-Венана, широко применяемые в механике де
формируемого твердого тела. Их часто называют условиями сплошности.
Ю.Н. Радаев

Страницы